■あいこの確率(その8)

[Q]n人でじゃんけんをしたとき,あいこになる確率は?

[A]あいこにならない確率を求めて1からひく.全員の手の出し方は3^n通り.あいこにならないのは全員の手が2種類(たとえばグーとチョキ)で3通りある.全員がグーまたはチョキとなる手の出し方は2^n通りであるが,全員がグーまたは全員がチョキとなる手の出し方の2通りを除外する必要があるから,3(2^n−2)通り.

{3^n−3(2^n−2)}/3^n

=1−(2^n−2)/3^n-1

n=2のとき,1−2/3=1/3

n=3のとき,1−6/9=1/3

n=4のとき,1−14/27=13/27

  [参]清史弘「数学的思考の日常」、現代数学社

ではこの問題を深化させています。・・・n人でじゃんけんをすれば平均何回で終わるか?

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[1]n人がじゃんけんしてm人が勝つ確率qm

qm=nCm・3・(1/3)^n=nCm・(1/3)^n-1

[2]あいこになる確率=誰も勝たない確率

1-q1-q2・・・-qn-1=1-(1/3)^n-1・ΣnCm

=1−(2^n−2)/3^n-1

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[3]n人でじゃんけんを始めて、勝者が1人に決まるまでのじゃんけんの回数の期待値

まずは2人でじゃんけんをしたとき決着がつくまでの回数の期待値E2を求めると

k-1回あいこが続き、k回目に勝者が決まる確率をpkとすると

n=2のとき,あいこになる確率は1−2/3=1/3であるから

pk=(1/3)^k-1・(1-1/3)

E2=Σkpk=(2/3) Σ(1/3)^k-1=(2/3) 1/(1-/3)^2=3/2

これは2人でじゃんけんすると平均1.5回で決着がつくことを意味している。

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