■フィボナッチ数の行列表現(その5)

【4】複素超越表現

 初項1,第2項1から始まるフィボナッチ数列

  1,1,2,3,5,8,・・・

の場合は,

  Fn=1/√5[{(1+√5)/2}^n−{(1−√5)/2}^n]

であるから,x^n−1に対応していて

  Fn=Π(k=1~[n/2]){1+4cos^2(kπ/n)}

となる.

 複素超越表現すれば,

  Fn=i^(n-1)sin(nz)/sinz,

  z=π/2+iln{(1+√5)/2}

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√5Fn=[g^n−{-1/g}^n]

t=ilngとおくことによって

√5Fn=2i^n-1sin[π/2+t]n

sin[π/2+ilng]=√5/2

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t/i=lng

分母分子にiをかけると

-it=lng

g=exp(-it)

g^n−{-1/g}^n=exp(-int)-(-1)^nexp(int)

=exp(-int)-(i^2)^nexp(int)=

=i^n{(1/i)^nexp(-int)-(i^n)exp(int)}

=i^n{(-i)^nexp(-int)-(i^n)exp(int)}

=i^n{(exp(-inπ/2-int)-exp(inπ/2+int)}

=i^n{cos(-nπ/2-nt)+isin(-nπ/2-nt)-cos(nπ/2+nt)-isin(nπ/2+nt)

=i^n{-2isin(nπ/2+nt)

=-2i^n+1sin(nπ/2+nt)

=2i^n-1sin(nπ/2+nt)

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√5Fn/2=i^(n-1)sin(nz)

√5F1/2=sin(z)

ここで、F1=1より、

 Fn=i^(n-1)sin(nz)/sinz,

sinz=√5/2

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√5Fn/2=i^(n-1)sin(nz)

√5F2/2=isin(2z)

ここで、F2=1より、

 Fn=i^(n-2)sin(nz)/sin2z,

sin2z=-i√5/2=2coszsinz

cosz=-i/2

(cosz)^2+(sinz)^2=-1/4+5/2=1

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18世紀、オイラーは最も多彩で、多くの仕事をした中心的な存在であった。

上記の説明の中にも、オイラーの公式

exp(iπ)=-1

exp(iθ)=cosθ+isinθ

が簡潔に要約されている。

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