【４】複素超越表現

　初項１，第２項１から始まるフィボナッチ数列

　　１，１，２，３，５，８，・・・

の場合は，

　　Ｆn＝１／√５［｛（１＋√５）／２｝^n−｛（１−√５）／２｝^n］

であるから，ｘ^n−１に対応していて

　　Ｆn＝Π(k=1~[n/2])｛１＋４ｃｏｓ^2（ｋπ／ｎ）｝

となる．

　複素超越表現すれば，

　　Ｆn＝ｉ^(n-1)ｓｉｎ（ｎｚ）／ｓｉｎｚ，

　　ｚ＝π／２＋ｉｌｎ｛（１＋√５）／２｝

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√５Ｆn＝［ｇ^n−｛-1/ｇ｝^n］

ｔ＝ｉｌｎｇとおくことによって

√５Ｆn＝２ｉ^n-1ｓｉｎ［π/２＋ｔ］ｎ

ｓｉｎ［π/２＋ｉｌｎｇ］＝√５/２

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t/i=lng

分母分子にiをかけると

-it=lng

g=exp(-it)

ｇ^n−｛-1/ｇ｝^n=exp(-int)-(-1)^nexp(int)

=exp(-int)-(i^2)^nexp(int)=

=i^n{(1/i)^nexp(-int)-(i^n)exp(int)}

=i^n{(-i)^nexp(-int)-(i^n)exp(int)}

=i^n{(exp(-inπ/2-int)-exp(inπ/2+int)}

=i^n{cos(-nπ/2-nt)+isin(-nπ/2-nt)-cos(nπ/2+nt)-isin(nπ/2+nt)

=i^n{-2isin(nπ/2+nt)

=-2i^n+1sin(nπ/2+nt)

=2i^n-1sin(nπ/2+nt)

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√５Ｆn/2＝ｉ^(n-1)ｓｉｎ（ｎｚ）

√５Ｆ1/2＝ｓｉｎ（ｚ）

ここで、F1＝1より、

　Ｆn＝ｉ^(n-1)ｓｉｎ（ｎｚ）／ｓｉｎｚ，

sinz=√５/２

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√５Ｆn/2＝ｉ^(n-1)ｓｉｎ（ｎｚ）

√５Ｆ2/2＝iｓｉｎ（2ｚ）

ここで、F2＝1より、

　Ｆn＝ｉ^(n-2)ｓｉｎ（ｎｚ）／ｓｉｎ2ｚ，

sin2z=-i√５/２=2coszsinz

cosz=-i/2

(cosz)^2+(sinz)^2=-1/4+5/2=1

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18世紀、オイラーは最も多彩で、多くの仕事をした中心的な存在であった。

上記の説明の中にも、オイラーの公式

exp(iπ)=-1

exp(iθ)=cosθ+isinθ

が簡潔に要約されている。

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