以下の図より、ｄ→1/2の初等的証明が可能である。参照点が対角線の交点に載ることを示してみたい。

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5次元の場合

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5次元正単体の6頂点

は超平面：x1+x2+x3+x4+x5+x6=1上にあります。

また、赤道面

は超平面：x1-x4=2(x2-x3),x2-x5=2(x3-x4),x3-x6=2(x4-x5)・・・対角線の長さ2となるための条件

は超平面：x1-x3=√3(x1-x2),x2-x4=√2(x2-x3),x3-x5=√3(x3-x4),x4-x6=√3(x4-x5)・・・対角線の長さ√3となるための条件

両方が必要と考えられる。

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例えば、面P1P2P3P4はx1+x2+x3+x4=1,x5=0,x6=0上にあり、

x1-x4=2(x2-x3),x2-x5=2(x3-x4),x3-x6=2(x4-x5)

x1-x3=√3(x1-x2),x2-x4=√2(x2-x3),x3-x5=√3(x3-x4),x4-x6=√3(x4-x5)

との共有点は

x1-x4=2(x2-x3),x2=2(x3-x4),x3=2(x4)

x1-x3=√3(x1-x2),x2-x4=√2(x2-x3),x3=√3(x3-x4),x4=√3(x4)・・・NG

x3=2x4,x2=2x4,x1=x4

x1+x2+x3+x4=1→6x4=1→(1/6,1/3,1/3,1/6,0,0)

この巡回置換によって正六角形の頂点が得られるとすると

Q1:(1/6,1/3,1/3,1/6,0,0)

Q2:(1/3,1/3,1/6,0,0,1/6)

Q3:(1/3,1/6,0,0,1/6,1/3)

Q4:(1/6,0,0,1/6,1/3,1/3)

Q5:(0,0,1/6,1/3,1/3,1/6)

Q6:(0,1/6,1/3,1/3,1/6,0)

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　６点

　　（１，０，０，０，０，０）

　　（０，１，０，０，０，０）

　　（０，０，１，０，０，０）

　　（０，０，０，１，０，０）

　　（０，０，０，０，１，０）

　　（０，０，０，０，１，０）

が，ｘｙ平面上の６点

　　（ｃｏｓ０π／６，ｓｉｎ０π／６）

　　（ｃｏｓ２π／６，ｓｉｎ２π／６）

　　（ｃｏｓ４π／６，ｓｉｎ４π／６）

　　（ｃｏｓ６π／６，ｓｉｎ６π／６）

　　（ｃｏｓ８π／６，ｓｉｎ８π／６）

　　（ｃｏｓ10π／６，ｓｉｎ10π／６）

に投影されるためには，２×６行列

Ｍ＝［ｃｏｓ０π／６，ｃｏｓ２π／６，ｃｏｓ４π／６，ｃｏｓ６π／６，ｃｏｓ８π／６，ｃｏｓ10π／６］

　　［ｓｉｎ０π／６，ｓｉｎ２π／６，ｓｉｎ４π／６，ｓｉｎ６π／６，ｓｉｎ８π／６］，ｓｉｎ10π／６

が必要になる．

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(1/6,1/3,1/3,1/6,0,0)は

ｘ＝1/6+1/3・1/2-1/3・1/2-1/6＝0

ｙ＝1/3・√3/2＋1/3・√3/2＝√3/3

に投影される

（x^2+ｙ^2）=1/3

頂点までの√3/3が正しいようである。

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一方、投影図上の対角線の交点は

(1,0),(-1/2.√3/2)を通る直線:y=-√3/3(x-1)

(-1,0),(1/2.√3/2)を通る直線:y=√3/3(x+1)

-√3/2(x-1)=√3/2(x+1)

√3x=0.x=0,y=√3/3より、両者は一致する

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