複素変数ｚの関数

　ｆ（ｚ）＝ｚ^3-６ｚ^2＋９ｚ-４＝０

において、

ｚ＝a・exp(iαt)

とおくと

　ｆ（ｚ）＝a^3exp(3iαt)-6a^2exp(2iαt)+9a・exp(iαt)-4=0

x=a^3cos(3αt)-6a^2cos(2αt)+9a・cos(αt)-4

y=a^3sin(3αt)-6a^2sin(2αt)+9a・sin(αt)-4

cos3θ=4cos^3θ-3cosθ

cos2θ=2cos^2θ-1

としてもペリトロコイド型にならないが・・・

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　ｆ（ｘ）＝ｘ^3-６ｘ^2＋９ｘ-４＝０

ｘ＝ｙ＋2とおくと、ｙ^3-３ｙ-２＝0 （カルダノ変換）

ｙ＝２ｚとおくと、４ｚ^3-３ｚ＝1

4cos^3θ-3cosθ=cos3θと対比するとcos3θ=1,θ=0,2π/3

ｚ＝-1/2，1

ｙ＝-1，2

ｘ＝1，4

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ｘ＝２cosθ＋２、cos3θ=1であればよい。

cos(3αt)＝1とすると

x=a^3-6a^2cos(2αt)+9a・cos(αt)-4

y=-6a^2sin(2αt)+9a・sin(αt)-4

はペリトロコイド型になる。

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もしcos(αt)を消すのであれば、

cos(αt)＝1とすればよい。

x=a^3cos(3αt)-6a^2cos(2αt)+9a-4

y=a^3sin(3αt)-6a^2sin(2αt)-4

X=a^3cos(3αt)-6a^2cos(2αt)

Y=a^3sin(3αt)-6a^2sin(2αt)

はペリトロコイド型になる。

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