■ペリトロコイド回転(その11)

複素変数zの関数

 f(z)=z^3-6z^2+9z-4=0

において、

z=a・exp(iαt)

とおくと

 f(z)=a^3exp(3iαt)-6a^2exp(2iαt)+9a・exp(iαt)-4=0

x=a^3cos(3αt)-6a^2cos(2αt)+9a・cos(αt)-4

y=a^3sin(3αt)-6a^2sin(2αt)+9a・sin(αt)-4

cos3θ=4cos^3θ-3cosθ

cos2θ=2cos^2θ-1

としてもペリトロコイド型にならないが・・・

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 f(x)=x^3-6x^2+9x-4=0

x=y+2とおくと、y^3-3y-2=0 (カルダノ変換)

y=2zとおくと、4z^3-3z=1

4cos^3θ-3cosθ=cos3θと対比するとcos3θ=1,θ=0,2π/3

z=-1/2,1

y=-1,2

x=1,4

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x=2cosθ+2、cos3θ=1であればよい。

cos(3αt)=1とすると

x=a^3-6a^2cos(2αt)+9a・cos(αt)-4

y=-6a^2sin(2αt)+9a・sin(αt)-4

はペリトロコイド型になる。

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