b・243-a・256=1なるディオファントス解を求めたい。

(256,243)=1となることを。ユークリッドの互除法で示したい。

256＝1・243+13

243＝18・13+9

13＝1・9+4

9＝2・4+1

4=4・1

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互除法に現れる計算を、行列を使って書き直すと

[256]=[1,1][243]

[243] {1,0][ 13]

[256]=[1,1][18,1][13]

[243] {1,0][ 1,0][ 9]

[256]=[1,1][18,1][1,1][9]

[243] {1,0][ 1,0][1,0][4]

[256]=[1,1][18,1][1,1][2,1][4]

[243] {1,0][ 1,0][1,0][1,0][1]

[256]=[1,1][18,1][1,1][2,1][4,1][1]

[243] {1,0][ 1,0][1,0][1,0][1,0][0]

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有限連分数77/23=[3:2,1,7]の近似分数の計算を、行列を使って書き直すと

[p1,p0]=[3,1][2,1]=[7,3]

[q1,q0] [1,0][1,0] [2,1],　3/1→7/2

[p2,p1]=[3,1][2,1][1,1]=[7,3][1,1]=[10,7]

[q2,q1] [1,0][1,0][1,0] [2,1][1,0] [ 3,2], →10/3

[p3,p2]=[3,1][2,1][1,1][7,1]=[10,7][7,1]=[77,10]

[q3,q2] [1,0][1,0][1,0][1,0] [ 3,2][1,0] [23, 3] →77/23

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無理数αと連分数の関係は

{a0:a1,a2,・・・,ak,α]=[a0,1][a1,1]・・・[ak,1]α

[ 1,0][ 1,0]　　　[ 1,0]

で与えられる。たとえば、

√3=[1:1,2,1,2,・・・]は,α=[1,2]とおくと

√3=[1,1]α

[1,0]

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α=[1,3,5]は簡約2次無理数である。

α=[1,1][3,1][5,1]α

[1,0][1,0][1,0]

α=[21,4]α=(21α+4)/(16α+3)

[16,3]

16α^2-18α-4=0

α＞1より、α=(9+√145)/16

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