投影上の距離については解決したが、実際の距離Dも1/2に収束するのだろうか？

Tn=sin(n+1)π/(N+1))sin(nπ/(N+1))/{sin(π/(N+1))}{sin(2π/(N+1))

x=π/(N+1)とおくと

Tn=sin(n+1)x)sin(nx)/sin(x)sin(2x)

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n=1〜n-1

D^2=Σ(Tn-1/(n+1))^2+2/(n+1)^2

Σ(Tn)は計算済みで、n=1〜n-1

Σsin(n+1)xsin(nx)＝{nsin2x-sin(2nx)}/4sinx

sin(n+1)xsin(nx)=-1/2・{cos(2n+1)x-cosx}

Σcos(2n+1)x=sin(2nx)/2sinx-cos(x)={sin(2nx)-2sinxcosx}/2sinx

Σcosx=(n-1)cosx

Σsin(n+1)xsin(nx)=-1/2・{sin(2nx)-2sinxcosx-2sinx(n-1)cosx}/2sinx

Σsin(n+1)xsin(nx)＝{nsin2x-sin(2nx)}/4sinx

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Σ(Tn)^2=1/4Σ{cos(2n+1)x-cosx}^2

しかし、

Σ{cos(2n+1)x}^2がわからない。

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とりあえず数値的に計算してみることにした。

N=2: .816497

N=3: .5

N=4: .390879

N=5: .333333

N=6: .296638

N=7: .270598

N=8: .250829

N=9: .235114

N=10: .222202

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N＝3のとき

(1/2,1/2,0,0)は

ｘ＝1/2

ｙ＝1/2

に投影される

（x^2+ｙ^2）=1/2

頂点までの√2/2が正しいようである。

D^2=2(1/2-1/4)^2+2(0-1/4)^2=2/16+2/16=1/4

D=1/2・・・一致

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N＝4のとき

　（τ^-1/√5，1/√5，τ^-1/√5，0，0）は

（x^2+ｙ^2）=2-τ＝τ^-2

頂点までのτ^-1が正しいようである。=.61803・・・一致

D^2=2(τ^-1/√5-1/5)^2+(1/√5-1/5)^2+2(0-1/5)^2

D^2=2(√5τ^-1/5-1/5)^2+(√5/5-1/5)^2+2(0-1/5)^2

D^2=2τ^-4/25+4τ^-2/25+2/25

D^2=2(τ^-2+1)＾2/25

D^2=2・5(τ^-2)/25

D=（10)^1/2・(τ^-1)/5・・・一致

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N＝5のとき

(1/6,1/3,1/3,1/6,0,0)は

ｘ＝1/6+1/3・1/2-1/3・1/2-1/6＝0

ｙ＝1/3・√3/2＋1/3・√3/2＝√3/3

に投影される

（x^2+ｙ^2）=1/3

頂点までの√3/3が正しいようである。=.57735・・・一致

D^2=2(1/6-1/6)^2+2(1/3-1/6)^2+2(0-1/6)^2=1/18+1/18=1/9・・・一致

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　　φ^-4＝−３φ＋５、 √５φ^-4＝７φ−１１

　　φ^-3＝２φ−３、 √５φ^-3＝-４φ＋７

　　φ^-2＝−φ＋２、 √５φ^-2＝３φ−４

　　φ^-1＝φ−１、 √５φ^-1＝−φ＋３

　　φ^0＝１、 √５φ^0＝２φ−１

　　φ^1＝φ、 √５φ^1＝φ＋２

　　φ^2＝φ＋１、 √５φ^2＝３φ＋１

　　φ^3＝２φ＋１、 √５φ^3＝４φ＋３

　　φ^4＝３φ＋２、 √５φ^4＝７φ＋４

　　φ^5＝５φ＋３、 √５φ^5＝11φ＋７

　　φ^6＝８φ＋５、 √５φ^6＝18φ＋11

　右辺ｍφ＋ｎの係数ｍ，ｎはフィボナッチ数列をなす．

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