正多面体の正多角形断面（その８１）

■正多面体の正多角形断面（その８１）

5点の巡回置換の2つある不変平面は

x1-x4=τ(x2-x3),x2-x5=τ(x3-x4),x3-x1=τ(x4-x5)と

それに直交する超平面： x2-x3=X(x4-x1), x3-x4=X(x5-x2),x4-x5=X(x1-x3)

例えば、面P2P3P4はx2+x3+x4=1,x1=0,x5=0上にあり、

x1-x4=τ(x2-x3),x2-x5=τ(x3-x4),x3-x1=τ(x4-x5)との共有点は(0,τ^-1/√5,1/√5,τ^-1/√5)

この巡回置換によって正五角形の頂点が得られます。

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(τ^-1/√5,1/√5,τ^-1/√5,0,0)

(0,τ^-1/√5,1/√5,τ^-1/√5,0)

(0,0,τ^-1/√5,1/√5,τ^-1/√5)

(τ^-1/√5,0,0,τ^-1/√5,1/√5)

(1/√5,τ^-1/√5,0,0,τ^-1/√5)

この5点は超平面：x1+x2+x3+x4+x5=1上にあるが、2次元平面上に載る形には表さないだろうか？

もしこの平面の方程式が分かれば辺との交点を求めて中心断面の形を知ることができる。

x1(1,0,0,0,0)

x2(0,1,0,0,0)を結ぶ直線の方程式は

{x1-(1,0,0,0,0)]/{(0,1,0,0,0)-(1,0,0,0,0)}={x2-(1,0,0,0,0)]/{(0,1,0,0,0)-(1,0,0,0,0)}

(x1-1)/(-1)=x2/(1)

x1+x2=1,x3=0,x4=0,x5=0

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(τ^-1/√5,1/√5,τ^-1/√5,0,0)

x1+x3+x5=2τ-1/√5

x2+x4=1/√5

(0,τ^-1/√5,1/√5,τ^-1/√5,0)

x1+x3+x5=1/√5

x2+x4=2τ^-1/√5

(0,0,τ^-1/√5,1/√5,τ^-1/√5)

x1+x3+x5=2τ-1/√5

x2+x4=1/√5

(τ^-1/√5,0,0,τ^-1/√5,1/√5)

x1+x3+x5=τ^-1/√5+1/√5

x2+x4=τ^-1/√5

(1/√5,τ^-1/√5,0,0,τ^-1/√5)

x1+x3+x5=τ^-1/√5+1/√5

x2+x4=τ^-1/√5

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x1+x3+x5=2τ-1/√5

x2+x4=1/√5と

辺x3+x4=1,x1=0,x2=0,x5=0との交点x3[0,1],x4[0,1]→OK

x1+x3+x5=1/√5

x2+x4=2τ^-1/√5と

辺x3+x4=1,x1=0,x2=0,x5=0との交点x3[0,1],x4[0,1]→OK

x1+x3+x5=2τ-1/√5

x2+x4=1/√5と

辺x3+x4=1,x1=0,x2=0,x5=0との交点x3[0,1],x4[0,1]→OKG

x1+x3+x5=τ^-1/√5+1/√5

x2+x4=τ^-1/√5と

辺x3+x4=1,x1=0,x2=0,x5=0との交点x3[0,1],x4[0,1]→OK

x1+x3+x5=τ^-1/√5+1/√5

x2+x3=τ^-1/√5と

辺x3+x4=1,x1=0,x2=0,x5=0との交点x3[0,1],x4[0,1]→OK

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x1+x3+x5=2τ-1/√5

x2+x4=1/√5と