ペンタドロンを変形させずに、ヒンジのためのギャップを大きくとってパウル・シャッツ立体にするためには

1:1:1→1:√3:1とすることが必要である。

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【１】パウル・シャッツ立体

　６辺の辺長が

　　１，ａ，ａ，２ａ，２ａ，√５ａ　　　（ａ＝１／√３）

の四面体の鏡像体を辺長ａの辺で３個ずつ交互に連結し環状に閉じたものは，３セットで辺長１の立方体に収まるという空間充填立体（１／１８立方体）でもある特別な多面体の輪であり，パウル・シャッツ(Paul Schatz)により発見されたものであるという．

　パウル・シャッツ環はパウル・シャッツ立体３対を使ったサメの顎のような動くおもちゃで，輪郭が正六角形となるとき中央には正三角形の穴があき，中央の穴が閉じたとき片面は正三角形の平面になる．

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【２】パウル・シャッツ立体の計量

　パウル・シャッツ立体は２種類の直角三角形

　　（１，ａ，２ａ）２枚・・・・・内角３０°と６０°

　　（ａ，２ａ，√５ａ）２枚・・・内角２７°と６３°(=arctan2)

からなる四面体である（ａ＝１／√３）．

　相対する１組の稜（辺長ａの辺）は直交し，４頂点の座標は

　　Ａ（０，０，０）

　　Ｂ（１，０，０）

　　Ｃ（０，ａ，０）

　　Ｄ（１，０，ａ）

と表せる．これをもとにして二面角を計算すると，

　　３０°，７５．５２２５°，９０°

となる．

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