トリボナッチ数列Tn=Tn-1+Tn-2+Tn-3では

特性方程式t^3-t2-t-1=0を解いて3根

α=1/3・（1+μ1+μ2）

β=1/3・（1+ωμ1+ω^2μ2）

γ=1/3・（1+ω^2μ1+ωμ2）

μ1=(19+3√33)^1/3

μ2=(19-3√33)^1/3を求めました。

Tn+3-(α＋β＋γ)Tn+2+（αβ＋βγ＋γα)Tn+1-αβγTn=0

Tn+3-αTn+2＝β(Tn+2-αTn+1)+γ(Tn+2-αTn+1)-βγ(Tn+1-αTn)

Un=Tn+1-αTnとおくと

Un+2-βUn+1＝γ(Un+1-βUn)

となって、フィボナッチ数列と同じ形になります。

α＋β＋γ＝1

αβ＋βγ＋γα＝-1

αβγ＝1

本例の場合は

α＋β＋γ＝ｘ

αβ＋βγ＋γα＝ｘ

αβγ＝1

を解く必要がが出てきますが、いずれにせよ、一般項は簡単な形には表せません。

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フィボナッチ数列では無理数が、トリボナッチ数列では無理数と複素数が出現するのであるが

1種の驚きではないだろうか

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