■正多面体の正多角形断面(その54)

トリボナッチ数列Tn=Tn-1+Tn-2+Tn-3では

特性方程式t^3-t2-t-1=0を解いて3根

α=1/3・(1+μ1+μ2)

β=1/3・(1+ωμ1+ω^2μ2)

γ=1/3・(1+ω^2μ1+ωμ2)

μ1=(19+3√33)^1/3

μ2=(19-3√33)^1/3を求めました。

Tn+3-(α+β+γ)Tn+2+(αβ+βγ+γα)Tn+1-αβγTn=0

Tn+3-αTn+2=β(Tn+2-αTn+1)+γ(Tn+2-αTn+1)-βγ(Tn+1-αTn)

Un=Tn+1-αTnとおくと

Un+2-βUn+1=γ(Un+1-βUn)

となって、フィボナッチ数列と同じ形になります。

α+β+γ=1

αβ+βγ+γα=-1

αβγ=1

本例の場合は

α+β+γ=x

αβ+βγ+γα=x

αβγ=1

を解く必要がが出てきますが、いずれにせよ、一般項は簡単な形には表せません。

===================================

フィボナッチ数列では無理数が、トリボナッチ数列では無理数と複素数が出現するのであるが

1種の驚きではないだろうか

===================================