正四面体の辺の中点をうまく結ぶと正方形ができます。

ところで、正四面体に限らず、正単体をｎ次元空間内で作ると一般に座標が無理数になりますが、そこで、

正単体をもっとも手軽に作るには全体を1次元上げて、ｎ+1次元空間の単位点ｎ+1個からなる単体をとることです。

5次元正単体の場合

P1:(1,0,0,0,0,0)

P2:(0,1,0,0,0,0)

P3:(0,0,1,0,0,0)

P4:(0,0,0,1,0,0)

P5:(0,0,0,0,1,0)

P6:(0,0,0,0,0,1)

辺の中点は(1/2,1/2,0,0,0,0),・・・

面の中心は(1/3,1/3,1/3,0,0,0),・・・

正四面体の中心は(1/4,1/4,1/4,1/4,0,0),・・・

正5胞体の中心は (1/5,1/5,1/5,1/5,1/5,0),・・・

全体の中心は(1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6)

1辺は√2になります。

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5次元正単体の6頂点

は超平面：x1+x2+x3+x4+x5+x6=1上にあります。

また、赤道面

は超平面：x1-x4=2(x2-x3),x2-x5=2(x3-x4),x3-x6=2(x4-x5)・・・対角線の長さ2となるための条件

は超平面：x1-x3=√3(x1-x2),x2-x4=√2(x2-x3),x3-x5=√3(x3-x4),x4-x6=√3(x4-x5)・・・対角線の長さ√3となるための条件

両方が必要と考えられる。

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例えば、面P1P2P3P4はx1+x2+x3+x4=1,x5=0,x6=0上にあり、

x1-x4=2(x2-x3),x2-x5=2(x3-x4),x3-x6=2(x4-x5)

x1-x3=√3(x1-x2),x2-x4=√2(x2-x3),x3-x5=√3(x3-x4),x4-x6=√3(x4-x5)

との共有点は

x1-x4=2(x2-x3),x2=2(x3-x4),x3=2(x4)

x1-x3=√3(x1-x2),x2-x4=√2(x2-x3),x3=√3(x3-x4),x4=√3(x4)・・・NG

x3=2x4,x2=2x4,x1=x4

x1+x2+x3+x4=1→6x4=1→(1/6,1/3,1/3,1/6,0,0)

この巡回置換によって正六角形の頂点が得られるとすると

Q1:(1/6,1/3,1/3,1/6,0,0)

Q2:(1/3,1/3,1/6,0,0,1/6)

Q3:(1/3,1/6,0,0,1/6,1/3)

Q4:(1/6,0,0,1/6,1/3,1/3)

Q5:(0,0,1/6,1/3,1/3,1/6)

Q6:(0,1/6,1/3,1/3,1/6,0)

Q1:(1,2,2,1,0,0)

Q2:(2,2,1,0,0,1)

Q3:(2,1,0,0,1,2)

Q4:(1,0,0,1,2,2)

Q5:(0,0,1,2,2,1)

Q6:(0,1,2,2,1,0)

(Q1Q2)^2=4

(Q1Q3)^2=4+4+4=12

(Q1Q4)=4+4+4+4=16

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5次元正単体では正四面体上の点をうまく結ぶと正六角形ができます。

(1/6,1/3,1/3,1/6,0,0)は

P1P4の中点(1/2,0,0,1/2,0,0)

P2P3の中点(0,1/2,1/2,0,0,0)

を2：1に内分した点

1/3・{(1/2,0,0,1/2,0,0)+2(0,1/2,1/2,0,0,0)}=>(1/6,1/3,1/3,1/6,0,0)

投影図上は正六角形の中心と辺の中点を結ぶ線を2：1に内分した点である。

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P2P3の中点(0,1/2,1/2,0,0,0)まで

(0,1/3,1/3,0,0,0)との比較になる

1/3：（1/2-1/3）＝2：1

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7次元正単体の8頂点

は超平面：x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8=1上にあります。

X=1+2cos(180-180(7-2)/7)=1+2cos(360/7)

一般に X=1+2cos(360/(N+1))

正方形の場合は式が異なり、X=2cos(45)=√2

正五角形の場合はX=1+2cos(360/5)=1+(√5-1)/2=τ

正六角形の場合はX=1+2cos(360/6)=1+1=2

正八角形の場合はX=1+2cos(360/8)=1+√2

また、赤道面

は超平面：x1-x4=X(x2-x3),x2-x5=X(x3-x4),x3-x6=X(x4-x5)

は超平面：x4-x7=X(x5-x6),x5-x8=X(x6-x7),x7=0,x8=0

・・・対角線の長さX=1+√2となるための条件

は超平面：x4=X(x5-x6),x5=X(x6),x7=0,x8=0

x4=X(X-1)x6,

x3==X(x4-x5)=X(X(X-1)-X)+x6=(X^3-2X^2+1)x6

x2=X(x3-x4)+x5=X(X^3-2X^2+1-X^2+X)x6+Xx6=(X^4-3X^3+X^2+X)x6+Xx6=(X^4-3X^3+X^2+2X)x6

x1=X(x2-x3)+x4=X((X^4-3X^3+X^2+2X-X^3+2X^2-1)x6+X(X-1)x6=X(X^4-4X^3+3X^2+2X-1)x6+X(X-1)x6 =(X^5-4X^4+3X^3+3X^2-2X)x6

x1+x2+x3+x4+x5+x6

=X^5-4X^4+3X^3+3X^2-2X

X^4-3X^3+X^2 +2X

X^3-2X^2 +1

X~2-X

X+1

=(X^5-3X^4+X^3+3X^2+2)x6=1

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x6=1/(X^5-3X^4+X^3+3X^2+2)

x5=X/(X^5-3X^4+X^3+3X^2+2)

x4={X^2-X}/(X^5-3X^4+X^3+3X^2+2)

x3={X^3-2X^2+1}/(X^5-3X^4+X^3+3X^2+2)

x2={X^4-3X^3+X^2+2X}/(X^5-3X^4+X^3+3X^2+2)

x1=(X^5-4X^4+3X^3+3X^2-2X)/(X^5-3X^4+X^3+3X^2+2)

この中のいくつかは等しいと思われるが・・・

(X-1)/2=cos(360/8)=cosθ=√2/2

cos(2θ)=2{(X-1)/2}^2-1=(X^2-2X+1)/2-1=(X^2-2X-1)/2=0

cos(3θ)=4{(X-1)/2}^3-3{(X-1)/2}=(X-1)^3/2-(3X-3)/2=(X^3-3X^2+3X-1-3X+3)/2=(X^3-3X^2+2)/2=-cosθ=-(X-1)/2

cos(4θ)=8{(X-1)/2}^4-8{(X-1)/2}^2+1=(X-1)^4/2-4(X-1)^2/2+1=(X^4-4X^3+6X^2-4X+1)/2-4(X^2-2X+1)/2+2/2=(X^4-4X^3+2X^2+4X-1)/2＝-1

cos(5θ)=16{(X-1)/2}^5-20{(X-1)/2}^3+5{(X-1)/2}=(X-1)^5/2-5(X-1)^3/2+5{(X-1)/2}=(X^5-5X^4+10X^3-10X^2+5X-1)/2-5(X^3-3X^2+3X-1)/2+5(X-1)/2=(X^5-5X^4+5X^3+5X^2-5X-1)/2)＝cos3θ

X^2=2X+1

(X^3-3X^2+2)=-(X-1)

X^3=3X^2-X-1=5X+2

(X^4-4X^3+2X^2+4X+1)＝0

X^4=4X^3-2X^2-4X-1=12X+5

(X^5-5X^+5X^3+5X^2-5X-1)=-(X-1)

X^5=5X^4-5X^3-5X^2+4X+2=29X+12

x6=1/(4X+4)

x5=X/(4X+4)

x4={X+1}/(4X+4)

x3={X+1}/(4X+4)

x2={X}/(4X+4)

x1=(1)/(4X+4)

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