n+1点

　　（１，０，０，０，０，０，０）

　　（０，１，０，０，０，０，０）

　・・・・・・・・・・・・・・・・

　　（０，０，０，０，０，０，１）

が，ｘｙ平面上のn+1点

　　（ｃｏｓ０π／n+1，ｓｉｎ０π／７）

　　（ｃｏｓ２π／n+1，ｓｉｎ２π／７）

　・・・・・・・・・・・・・・・・

　　（ｃｏｓ2(n-1)π／n+1，ｓｉｎ2(n-1)π／７）

に投影されるためには，２×７行列

Ｍ＝［ｃｏｓ０π／n+1，ｃｏｓ２π／n+1，・・・，ｃｏｓ2(n-1)π／n+1］

　　［ｓｉｎ０π／n+1，ｓｉｎ２π／n+1，・・・，ｓｉｎ2(n-1)π／n+1］

が必要になる．

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n次元正単体のN+1頂点

は超平面：x1+x2+x3+x4+x5+x6+x(n+1)=1上にあります。

また、赤道面

は超平面：x1-x4=X(x2-x3),x2-x5=X(x3-x4),x3-x6=X(x4-x5),x4-x7=X(x5-x6)・・・対角線の長さXとなるための条件

X=1+2cos(180-180(7-2)/7)=1+2cos(360/7)

一般に X=1+2cos(360/(N+1))

正方形の場合は式が異なり、X=2cos(45)=√2

正五角形の場合はX=1+2cos(360/5)=1+(√5-1)/2=τ

正六角形の場合はX=1+2cos(360/6)=1+1=2

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例えば、面P1P2P3P4P5はx1+x2+x3+x4+x5=1,x6=0,x7=0上にあり、

x1-x4=X(x2-x3),x2-x5=X(x3-x4),x3=X(x4-x5),x4=X(x5)

との共有点は

x4=X(x5),x3=X(X-1)x5={X^2-X}x5,x2=X{X^2-X-X}x5+x5={X^3-2X^2+1}x5,

x1=X{X^3-2X^2+1-X^2+X}x5+Xx5={X^4-3X^3+X^2+2X}x5をx1+x2+x3+x4+x5=1に代入すると

(X^4-2X^3+2X+2)x5=1

まずこの多項式を表す方法が分からない・・・

F0=0

F1=1

F2=X

Fn=X(Fn-1-Fn-2)+Fn-3

F3=X(F2-F1)+F0=X(X-1)

F4=X(F3-F2)+F1=X{X(X-1)-X})+1=X^2(X-1)-X^2+1

4項漸化式であるから3次方程式を解く必要がある。

a^3-Xa^2+Xa-1＝0

(a-1)(a^2-(x-1)a+1)=0

a=1/2・{(x-1)+-{(x-1)^2-4}^1/2}

a=1/2・{2cos(360/(N+1))+-{4cos(360/(N+1))^2-4}^1/2}

a=1/2・{2cos(360/(N+1))+-{-4sin(360/(N+1))^2}^1/2}

a=1/2・{2cos(360/(N+1))+-2isin(360/(N+1))}

a={cos(360/(N+1))+-isin(360/(N+1))}・・・複素数となった

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【１】フィボナッチ数列の周期性の解析

　Ｆn+1＝Ｆn＋Ｆn-1と同値なベクトルの漸化式を

　　［Ｆn ］＝［０，１］［Ｆn-1］＝Ａ［Ｆn-1］

　　［Ｆn+1］　［１，１］［Ｆn ］　　［Ｆn ］

で置き換えると，

　　［Ｆn ］＝Ａ^n［Ｆn-1］

　　［Ｆn+1］　　　［Ｆn ］

　　Ａ＝［０，１］

　　　　［１，１］

は対称行列で，

　　Ａ^2＝［１，１］，Ａ^3＝［１，２］，Ａ^4＝［２，３］

　　　　　［１，２］ 　　　［２，３］ 　　　［３，５］

　　Ａ^5＝［３，５］

　　　　　［５，８］

Ａ^nも対称行列となることに加え，フィボナッチ数列が現れることがわかる．すなわち，

　　Ａ^n＝Ａ^n-1Ａ＝［Ｆn-2，Ｆn-1］［０，１］＝［Ｆn-1，Ｆn ］　　　　　　　　　　　　　［Ｆn-1，Ｆn ］［１，１］　［Ｆn，　Ｆn+1］

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