正四面体の辺の中点をうまく結ぶと正方形ができます。

ところで、正四面体に限らず、正単体をｎ次元空間内で作ると一般に座標が無理数になりますが、そこで、

正単体をもっとも手軽に作るには全体を1次元上げて、ｎ+1次元空間の単位点ｎ+1個からなる単体をとることです。

正5胞体の場合

P1:(1,0,0,0,0)

P2:(0,1,0,0,0)

P3:(0,0,1,0,0)

P4:(0,0,0,1,0)

P5:(0,0,0,0,1)

辺の中点は(1/2,1/2,0,0,0),・・・

面の中心は(1/3,1/3,1/3,0,0),・・・

正四面体の中心は(1/4,1/4,1/4,1/4,0),・・・

正5胞体の中心は (1/5,1/5,1/5,1/5,1/5)

1辺は√2になります。

正5胞体の相隣る5辺の中点は

(1/2,1/2,0,0,0),(0,1/2,1/2,0,0),(0,0,1/2,1/2,0),(1/2,0,0,1/2,0),(1/2,0,0,0,1/2)

となって、1辺の長さ√1/2,対角線の長さ1となって、正五角形ではないことがわかります。

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正5胞体の5頂点

は超平面：x1+x2+x3+x4+x5=1上にあります。

また、赤道面

は超平面：x1-x4=X(x2-x3),x2-x5=X(x3-x4),x3-x1=X(x4-x5)・・・対角線の長さτとなるための条件、

星形五角形も考えると-τ^-1もでてくる・・・上にあるとすると

これらはx4-x2=X(x5-x1), x5-x3=X(x1-x2)も満たしますから、

X^2-X-1=0,X=τ,-τ^-1

5点の巡回置換の2つある不変平面は

x1-x4=τ(x2-x3),x2-x5=τ(x3-x4),x3-x1=τ(x4-x5)・・・X=τに対応する、と

x2-x3=X(x4-x1), x3-x4=X(x5-x2),x4-x5=X(x1-x3)・・・X=-τ^-1に対応する

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5点の巡回置換の2つある不変平面は

x1-x4=τ(x2-x3),x2-x5=τ(x3-x4),x3-x1=τ(x4-x5)と

それに直交する超平面： x2-x3=X(x4-x1), x3-x4=X(x5-x2),x4-x5=X(x1-x3)

例えば、面P2P3P4はx2+x3+x4=1,x1=0,x5=0上にあり、

x1-x4=τ(x2-x3),x2-x5=τ(x3-x4),x3-x1=τ(x4-x5)との共有点は(0,τ^-1/√5,1/√5,τ^-1/√5)

この巡回置換によって正五角形の頂点が得られます。

また、面P1P3P5はx1+x3+x5=1,x2=0,x4=0上にあり、

x2-x3=X(x4-x1), x3-x4=X(x5-x2),x4-x5=X(x1-x3)との共有点は(τ^-1/√5,0，1/√5,0,τ^-1/√5)

この巡回置換によって正五角形の頂点が得られます。

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　　φ^-4＝−３φ＋５、 √５φ^-4＝７φ−１１

　　φ^-3＝２φ−３、 √５φ^-3＝-４φ＋７

　　φ^-2＝−φ＋２、 √５φ^-2＝３φ−４

　　φ^-1＝φ−１、 √５φ^-1＝−φ＋３

　　φ^0＝１、 √５φ^0＝２φ−１

　　φ^1＝φ、 √５φ^1＝φ＋２

　　φ^2＝φ＋１、 √５φ^2＝３φ＋１

　　φ^3＝２φ＋１、 √５φ^3＝４φ＋３

　　φ^4＝３φ＋２、 √５φ^4＝７φ＋４

　　φ^5＝５φ＋３、 √５φ^5＝11φ＋７

　　φ^6＝８φ＋５、 √５φ^6＝18φ＋11

　右辺ｍφ＋ｎの係数ｍ，ｎはフィボナッチ数列をなす．

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正5胞体では三角形面上の点をうまく結ぶと正五角形ができます。

この点は重心座標系で(1,τ,1)、頂点から対辺までを2：τに内分する点です。

2：τは正五角形の外接円と内接円の半径の比に一致します。

2：τ=1:cos36=1:τ/2

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面P1P3P5の頂点は

P1:(1,0,0,0,0)

P3:(0,0,1,0,0)

P5:(0,0,0,0,1)

辺P1P5の中点Mは

:(1/2,0,0,0,1/2)

P3Mを2：τに内分すると

1/(2+τ){τ(0,0,1,0,0)+2(1/2,0,0,0,1/2)｝

＝1/(2+τ){(1,0,τ,0,1)｝

＝τ^-1/√5{(1,0,τ,0,1)｝

=(τ^-1/√5,0，1/√5,0,τ^-1/√5)→2：τは正五角形の外接円と内接円の半径の比に一致することから、ペンタグラムの中心に投影される

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(0,0,1,0,0)

(0,τ^-1/√5,1/√5,τ^-1/√5,0)

の内積をとるかわりに

1/√5：(1-1/√5）

=1：(√5-1)

=1:2/τ

=τ:2

この計算方法でよい

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