ABCDOが4次元正多胞体の1つの基本単体であるとき、これが実空間内に作られる条件は

α＝π/ｐ,β＝π/ｑ,γ＝π/ｒとおいて、

(sinα)^2(sinγ)^2>(cosβ)^2

となることです。

シュレーフリは単位球面上として超級四面体ABCDの体積を4次元の全球面の体積2π^2と合わせるために

定数倍して

π^2f(α,β,γ)/8

とおきました。

V4=π^2/Γ(3),Γ3)=2Γ(2)=2

S4=4V4=2π^2

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基本的な方針は

f(α,β,γ)をα,β,γで微分すると、そのときの微少変化量は2次元の球面上の三角形の面積に比例し、

それは角過剰(内角の和からπを引いた量）に比例するといった性質です。

π^2/4・df(α,β,γ)=arccos{sinαcosγ/{(sinα)^2-(cosβ)^}^1/2}dα

+arccos{cosαcosβcosγ/{(sinα)^2-(cosβ)^}^1/2{(sinγ)^2-(cosβ)^}^1/2}dβ

+arccos{cosαsinγ/{(sinγ)^2-(cosβ)^}^1/2}dγ

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シュレーフリの関数は初等関数で書けないいくつかの関数と密接な関係があります。

たとえば、アーベルの関数

ψ(x)=-∫(0,x)log(1-t)/tdt=Σx^2/n^2

ψ(1)=π^2/6

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