■正多面体の正多角形断面(その8)

正四面体の辺の中点をうまく結ぶと正方形ができます。

ところで、正四面体に限らず、正単体をn次元空間内で作ると一般に座標が無理数になりますが、そこで、

正単体をもっとも手軽に作るには全体を1次元上げて、n+1次元空間の単位点n+1個からなる単体をとることです。

正5胞体の場合

P1:(1,0,0,0,0)

P2:(0,1,0,0,0)

P3:(0,0,1,0,0)

P4:(0,0,0,1,0)

P5:(0,0,0,0,1)

辺の中点は(1/2,1/2,0,0,0),・・・

面の中心は(1/3,1/3,1/3,0,0),・・・

正四面体の中心は(1/4,1/4,1/4,1/4,0),・・・

正5胞体の中心は (1/5,1/5,1/5,1/5,1/5)

1辺は√2になります。

正5胞体の相隣る5辺の中点は

(1/2,1/2,0,0,0),(0,1/2,1/2,0,0),(0,0,1/2,1/2,0),(1/2,0,0,1/2,0),(1/2,0,0,0,1/2)

となって、1辺の長さ√1/2,対角線の長さ1となって、正五角形ではないことがわかります。

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例えば、面P2P3P4はx2+x3+x4=1,x1=0,x5=0上にあり、

x1-x4=τ(x2-x3),x2-x5=τ(x3-x4),x3-x1=τ(x4-x5)との共有点は(0,τ^-1/√5,1/√5,τ^-1/√5,0)

この巡回置換によって正五角形の頂点が得られます。

(0,τ^-1/√5,1/√5,τ^-1/√5,0)

(τ^-1/√5,1/√5,τ^-1/√5,0,0)

(1/√5,τ^-1/√5,0,0,τ^-1/√5)

(τ^-1/√5,0,0,τ^-1/√5,1/√5)

(0,0,τ^-1/√5,1/√5,τ^-1/√5)

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(辺の長さ)^2は

2(τ^-1/√5)^2+2(τ^-1/√5-1/√5)^2=2/5・(2τ^-2-2τ^-1+1)=2/5・(-4τ+7)=2/5・√5φ^-3

(対角線の長さ)^2は

2(1/√5)^2+2(τ^-1/√5)^2=2/5・(1+τ^-2)=2/5・√5φ^-1

後者は前者のτ^2倍になっていることが確かめられました。

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  φ^-4=−3φ+5、 √5φ^-4=7φ−11

  φ^-3=2φ−3、 √5φ^-3=-4φ+7

  φ^-2=−φ+2、 √5φ^-2=3φ−4

  φ^-1=φ−1、 √5φ^-1=−φ+3

  φ^0=1、 √5φ^0=2φ−1

  φ^1=φ、 √5φ^1=φ+2

  φ^2=φ+1、 √5φ^2=3φ+1

  φ^3=2φ+1、 √5φ^3=4φ+3

  φ^4=3φ+2、 √5φ^4=7φ+4

  φ^5=5φ+3、 √5φ^5=11φ+7

  φ^6=8φ+5、 √5φ^6=18φ+11

 右辺mφ+nの係数m,nはフィボナッチ数列をなす.

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正5胞体では三角形面上の点をうまく結ぶと正五角形ができます。

この点は重心座標系で(1,τ,1)、頂点から対辺までを2:τに内分する点です。

2:τは正五角形の外接円と内接円の半径の比に一致します。

2:τ=1:cos36=1:τ/2

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面P2P3P4の頂点は

P2:(0,1,0,0,0)

P3:(0,0,1,0,0)

P4:(0,0,0,1,0)

辺P2P4の中点Mは

:(0,1/2,0,1/2,0)

P3Mを2:τに内分すると

1/(2+τ){τ(0,0,1,0,0)+2(0,1/2,0,1/2,0)}

=1/(2+τ){(0,1,τ,1,0)}

=τ^-1/√5{(0,1,τ,1,0)}

=(0,τ^-1/√5,1/√5,τ^-1/√5,0)

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