タイヤが歪んでいるとき，平らな道の上を滑らかに転がることができません．しかし，逆に考えると，歪んだタイヤでも凸凹具合によっては滑らかに転がることができる道があるはずです．そこで，ここでは，ある曲線に付帯する定点（回転軸）が水平線を描く場合の基線となる曲線を求めることにします．

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［２］楕円の車輪とコサインの道

　道の曲線が関数：ｙ＝ｃｏｓ（ｘ）−√２で与えられている場合の車輪の形を求めてみましょう．

　　θ(x)＝-∫(0,x)1/y(u)du-π/2

より，

　　θ＝ａｒｃｔａｎ（（√２＋１）ｔａｎ（ｘ／２））−π／２

したがって，

　　ｔａｎ（ｘ／２）＝（√２−１）ｔａｎ（１／２（θ＋π／２））

　あとは，変数変換によって，

　　ｃｏｓ（ｘ）＝（１−√２ｓｉｎθ）／（√２−ｓｉｎθ）

これより，極座標表示された車輪の曲線の式は

　　ｒ＝−ｙ＝√２−ｃｏｓθ＝１／（√２−ｓｉｎθ）

となり，楕円を表すことがわかります．

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この場合も順問題の答がアンデュロイドだったのに対して，逆問題の答は三角関数になるというわけです．同様に，車輪の形が楕円・放物線・双曲線のとき，焦点が直線を描く道の形は，

　　楕円　　→　三角関数

　　放物線　→　放物線

　　双曲線　→　懸垂線 になるのです．

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