4次元版の計算をしてみたいのであるが・・・

ユークリッド空間の基本単体では

(sinα)^2(sinγ)^2-(cosβ)^2=0

sinαsinγ-cosβ=0→これに相当する式が分からない。

正四面体ではα=π/3,β=π/3→√3sinγ＝1

正八面体ではα=π/3,β=π/4→√3sinγ＝√2

正20面体ではα=π/3,β=π/5→√3sinγ＝φ

kaleidoscope, p102-103

(-1,0),(0,1),(1,2),(2,3),(3,4)

(-1,1),(0,2),(1,3),(2,4)

(-1,2),(0,3),(1,4)

(-1,3),(0,4)

(-1,4)

a^2(tanγ)^2=1

c^2(tanα)^2=1

b^2=a^2c^2

a=AB,b=BC,c=CD

d=ADとすると

d^2=(tanβ)^2

(secα)^2=(-1,1)(0,2)

(secβ)^2=(0,2)(1,3)

(secγ)^2=(1,3)(2,4)→(secδ)^2=(2,4)(3,5)と思われる

(tanα)^2=(-1,2)=(2,4)

(tanβ)^2=(0,3)

(tanγ)^2=(1,4)→(tanδ)^2=(2,5)と思われる

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正12面体ではα=π/5,β=π/3→(10-2(5)^1/2)^1/2sinγ＝2

sinγ=2/(10-2(5)^1/2)^1/2=2{(10+2(5)^1/2)^1/2}/(80)^1/2

sinγ=2/(10-2(5)^1/2)^1/2={(10+2(5)^1/2)^1/2}/2(5)^1/2

(sinγ)^2={(10+2(5)^1/2)}/20

(cosγ)^2={(10-2(5)^1/2)}/20

(tanγ)^2=τ

(tanα)^2=5-2(5)^1/2=7-4τ

(tanβ)^2=3

(tanγ)^2=τ

正12面体では

１　　　１　　　１　　　１　　　１

　　・　　　x　　　　ｙ　　7-4τ

　　　　7-4τ 　３　　τ

　　　　　　・　　　・

　　　　　　　　０

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a=(1/τ)^1/2, b=(1/τ(7-4τ))^1/2,c=(1/7-4τ)^1/2

{5,3}: a1=1,a2=τ(τ^2+1)/5)^1/2,a3=a2・τ

1/(7-4τ)^1/2=τ(τ^2+1)/5)^1/2であればよい

1/(7-4τ)=τ^2(τ^2+1)/5

(7-4τ)（τ+1）（τ+2）＝5

(7-4τ)（τ^2+3τ+2）＝5

(7-4τ)（4τ+3）＝5

28τ+21-16τ^2-12τ＝16τ+21-16τ-16＝5・・・一致

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　　φ^-4＝−３φ＋５、 √５φ^-4＝７φ−１１

　　φ^-3＝２φ−３、 √５φ^-3＝４φ＋７

　　φ^-2＝−φ＋２、 √５φ^-2＝３φ−４

　　φ^-1＝φ−１、 √５φ^-1＝−φ＋３

　　φ^0＝１、 √５φ^0＝２φ−１

　　φ^1＝φ、 √５φ^1＝φ＋２

　　φ^2＝φ＋１、 √５φ^2＝３φ＋１

　　φ^3＝２φ＋１、 √５φ^3＝４φ＋３

　　φ^4＝３φ＋２、 √５φ^4＝７φ＋４

　右辺ｍφ＋ｎの係数ｍ，ｎはフィボナッチ数列をなす．

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正120細胞体ではα=π/5,β=π/3→(10-2(5)^1/2)^1/2sinγ＝2

sinγ=2/(10-2(5)^1/2)^1/2=2{(10+2(5)^1/2)^1/2}/(80)^1/2

sinγ=2/(10-2(5)^1/2)^1/2={(10+2(5)^1/2)^1/2}/2(5)^1/2

(sinγ)^2={(10+2(5)^1/2)}/20

(cosγ)^2={(10-2(5)^1/2)}/20

(tanγ)^2=τ

(tanα)^2=5-2(5)^1/2=7-4τ

(tanβ)^2=3

(tanγ)^2=τ

正120胞体では

１　　　１　　　１　　　１　　　１

　　2τ^-2　　x　　　　ｙ　　・

　　　　√5τ^-3 　z　　w

　　　　　　2τ^-4　　・

　　　　　　　　τ^-6

これは球面上の値と思われる

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a=(1/τ)^1/2, b=(1/τ(7-4τ))^1/2,c=(1/7-4τ)^1/2

{5,3}: a1=1,a2=τ(τ^2+1)/5)^1/2,a3=a2・τ

1/(7-4τ)^1/2=τ(τ^2+1)/5)^1/2であればよい

1/(7-4τ)=τ^2(τ^2+1)/5

(7-4τ)（τ+1）（τ+2）＝5

(7-4τ)（τ^2+3τ+2）＝5

(7-4τ)（4τ+3）＝5

28τ+21-16τ^2-12τ＝16τ+21-16τ-16＝5・・・一致

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