■シュレーフリの公式と直角三角錐(その43)

4次元版の計算をしてみたいのであるが・・・

ユークリッド空間の基本単体では

(sinα)^2(sinγ)^2-(cosβ)^2=0

sinαsinγ-cosβ=0→これに相当する式が分からない。

正四面体ではα=π/3,β=π/3→√3sinγ=1

正八面体ではα=π/3,β=π/4→√3sinγ=√2

正20面体ではα=π/3,β=π/5→√3sinγ=φ

kaleidoscope, p102-103

(-1,0),(0,1),(1,2),(2,3),(3,4)

(-1,1),(0,2),(1,3),(2,4)

(-1,2),(0,3),(1,4)

(-1,3),(0,4)

(-1,4)

a^2(tanγ)^2=1

c^2(tanα)^2=1

b^2=a^2c^2

a=AB,b=BC,c=CD

d=ADとすると

d^2=(tanβ)^2

(secα)^2=(-1,1)(0,2)

(secβ)^2=(0,2)(1,3)

(secγ)^2=(1,3)(2,4)→(secδ)^2=(2,4)(3,5)と思われる

(tanα)^2=(-1,2)=(2,4)

(tanβ)^2=(0,3)

(tanγ)^2=(1,4)→(tanδ)^2=(2,5)と思われる

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正12面体ではα=π/5,β=π/3→(10-2(5)^1/2)^1/2sinγ=2

sinγ=2/(10-2(5)^1/2)^1/2=2{(10+2(5)^1/2)^1/2}/(80)^1/2

sinγ=2/(10-2(5)^1/2)^1/2={(10+2(5)^1/2)^1/2}/2(5)^1/2

(sinγ)^2={(10+2(5)^1/2)}/20

(cosγ)^2={(10-2(5)^1/2)}/20

(tanγ)^2=τ

(tanα)^2=5-2(5)^1/2=7-4τ

(tanβ)^2=3

(tanγ)^2=τ

正12面体では

1   1   1   1   1

  ・   x    y  7-4τ

    7-4τ  3  τ

      ・   ・

        0

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a=(1/τ)^1/2, b=(1/τ(7-4τ))^1/2,c=(1/7-4τ)^1/2

{5,3}: a1=1,a2=τ(τ^2+1)/5)^1/2,a3=a2・τ

1/(7-4τ)^1/2=τ(τ^2+1)/5)^1/2であればよい

1/(7-4τ)=τ^2(τ^2+1)/5

(7-4τ)(τ+1)(τ+2)=5

(7-4τ)(τ^2+3τ+2)=5

(7-4τ)(4τ+3)=5

28τ+21-16τ^2-12τ=16τ+21-16τ-16=5・・・一致

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  φ^-4=−3φ+5、 √5φ^-4=7φ−11

  φ^-3=2φ−3、 √5φ^-3=4φ+7

  φ^-2=−φ+2、 √5φ^-2=3φ−4

  φ^-1=φ−1、 √5φ^-1=−φ+3

  φ^0=1、 √5φ^0=2φ−1

  φ^1=φ、 √5φ^1=φ+2

  φ^2=φ+1、 √5φ^2=3φ+1

  φ^3=2φ+1、 √5φ^3=4φ+3

  φ^4=3φ+2、 √5φ^4=7φ+4

 右辺mφ+nの係数m,nはフィボナッチ数列をなす.

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正120細胞体ではα=π/5,β=π/3→(10-2(5)^1/2)^1/2sinγ=2

sinγ=2/(10-2(5)^1/2)^1/2=2{(10+2(5)^1/2)^1/2}/(80)^1/2

sinγ=2/(10-2(5)^1/2)^1/2={(10+2(5)^1/2)^1/2}/2(5)^1/2

(sinγ)^2={(10+2(5)^1/2)}/20

(cosγ)^2={(10-2(5)^1/2)}/20

(tanγ)^2=τ

(tanα)^2=5-2(5)^1/2=7-4τ

(tanβ)^2=3

(tanγ)^2=τ

正120胞体では

1   1   1   1   1

  2τ^-2  x    y  ・

    √5τ^-3  z  w

      2τ^-4  ・

        τ^-6

これは球面上の値と思われる

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a=(1/τ)^1/2, b=(1/τ(7-4τ))^1/2,c=(1/7-4τ)^1/2

{5,3}: a1=1,a2=τ(τ^2+1)/5)^1/2,a3=a2・τ

1/(7-4τ)^1/2=τ(τ^2+1)/5)^1/2であればよい

1/(7-4τ)=τ^2(τ^2+1)/5

(7-4τ)(τ+1)(τ+2)=5

(7-4τ)(τ^2+3τ+2)=5

(7-4τ)(4τ+3)=5

28τ+21-16τ^2-12τ=16τ+21-16τ-16=5・・・一致

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