シュレーフリの公式は，四面体の各面の面積をＡ，二面角のコサインをｃとすると，

　　Ａ1＝ｃ12Ａ2＋ｃ13Ａ3＋ｃ14Ａ4

　　Ａ2＝ｃ21Ａ1＋ｃ23Ａ3＋ｃ24Ａ4

　　Ａ3＝ｃ31Ａ1＋ｃ32Ａ2＋ｃ34Ａ4

　　Ａ4＝ｃ41Ａ1＋ｃ42Ａ2＋ｃ43Ａ3

なのであるが，これがシュレーフリの公式の各行となる．

　|　１,-ｃ12,-ｃ13,-ｃ14｜

　|　-ｃ21,１,-ｃ23,-ｃ24｜＝０

　|　-ｃ31,-ｃ32,１,-ｃ34｜

　|　-ｃ41,-ｃ42,-ｃ43,１｜

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したがって、基本単体を考えるならば、

　|　１,-cosα,０,０｜

　|　-cosα,１,-cosβ,０｜

　|　０,-cosβ,１,-cosγ｜

　|　０,０,-cosγ,１｜

=(cosα)^2(cosγ)^2-(cosα)^2-(cosβ)^2-(cosγ)^2+1

=(sinα)^2(sinγ)^2-(cosβ)^2

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ユークリッド空間の基本単体では

(sinα)^2(sinγ)^2-(cosβ)^2=0

sinαsinγ-cosβ=0

正四面体ではα=π/3,β=π/3→√3sinγ＝1

正八面体ではα=π/3,β=π/4→√3sinγ＝ √2

正20面体ではα=π/3,β=π/5→√3sinγ＝2φ

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正八面体では

１　　　１　　　１　　　１　　　１

　　２　　　２　　　１　　　３

　　　　３　　　１　　　２

　　　　　　１　　　１

　　　　　　　　０

とおけて

(tanα)^2=3

(tanβ)^2=1

(tanγ)^2=2

正八面体ではα=π/3,β=π/4→√3sinγ＝√2と一致 　

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kaleidoscope, p117より

a=(1/2)^1/2, b=(1/6)^1/2,c=(1/3)^1/2

正八面体では

aj=(2/j(j+1))^1/2, an=(2/n)^1/2

n=3, j=1,a1=1

n=3, j=2,a2=(1/3)^1/2

n=3, j=3,a3=(2/3)^1/2

で一致

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立方体では

１　　　１　　　１　　　１　　　１

　　１　　　２　　　２　　　１

　　　　１　　　３　　　１

　　　　　　１　　　１

　　　　　　　　０

とおけて

(tanα)^2=1

(tanβ)^2=3

(tanγ)^2=1

α=π/4,β=π/3→一致 　

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a=(1)^1/2, b=(1)^1/2,c=(1)^1/2→一致

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