【１】ヘロンの公式

３辺の長さがａ，ｂ，ｃの三角形の面積をΔとすると，

（４Δ）^2＝２ａ^2ｂ^2＋２ｂ^2ｃ^2＋２ｃ^2ａ^2−ａ^4−ｂ^4−ｃ^4

　　＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（−ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ−ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ−ｃ）

ここで，２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃとおくと

　　Δ^2＝ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）

となり，ヘロンの公式が得られます．

辺の長さが１３，１４，１５の三角形の面積を求めてみると、半周長は２１ですから

｛２１（２１−１３）（２１−１４）（２１−１５）｝^1/2＝８４

三辺の長さと面積が整数値をとる三角形をヘロンの三角形と呼びます。

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【２】ブレットシュナイダーの公式

四角形の４辺の長さをａ，ｂ，ｃ，ｄ，内角をα，β，γ，δとする．　また，（β＋δ）／２＝θとおくと，

　　（１＋ｃｏｓ（β＋δ））／２＝（１＋ｃｏｓ２θ）／２＝ｃｏｓ^2θ

であるから，辺ａ、ｂのなす角をα，辺ｃ、ｄのなす角をβ，θ＝（α＋β）／２とすると，

１９世紀になってから四角形の面積を正確に求める公式（ブレットシュナイダーの公式）が得られた．

ここで，２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄとおくと，四角形の面積は

　　Ｓ^2＝（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）（ｓ−ｄ）−ａｂｃｄ（１＋ｃｏｓ（β＋δ））／２

　　Ｓ＝（（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）（ｓ−ｄ）−ａｂｃｄｃｏｓ^2θ）^1/2

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【３】ブラーマグプタの公式

四角形は４辺の長さを与えてもその形は決まらないので，そのような公式は期待できませんが，四角形が円に内接するとき，面積は最大値をとり，ブラーマグプタの公式

　　Ｓ＝（（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）（ｓ−ｄ））^1/2，

　　ｓ＝（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）／２

が成り立ちます．

（証明）

　四角形の４辺の長さをａ，ｂ，ｃ，ｄ，内角をα，β，γ，δとする．ここで，２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄとおくと，四角形の面積は

　　Ｓ^2＝（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）（ｓ−ｄ）−ａｂｃｄ（１＋ｃｏｓ（β＋δ））／２

となる．

　四角形が円に内接するとき，β＋δ＝π，ｃｏｓ（β＋δ）＝−１より，面積は最大となり

　　Ｓ^2＝（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）（ｓ−ｄ）

が成り立つ．この定理でｄ→０とすると，三角形のヘロンの公式

　　Δ^2＝ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）

が得られる．しかしながら，円に内接する五角形や六角形については，ヘロンの公式の類似物は存在しない．

　この定理でｄ→０とすると，三角形のヘロンの公式

　　Δ^2＝ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）

が得られる．

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