■サマーヴィルの公式と三角錐(その6)

 おなじみの平面三角形のヘロンの公式にほかなりませんが,三角形の3辺の長さをa,b,c,面積をΔとして,

(4Δ)^2=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2−a^4−b^4−c^4

  =(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)

ここで,2s=a+b+cとおくと

  Δ^2=s(s−a)(s−b)(s−c)

となり,ヘロンの公式が得られます.

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[Q]3辺の長さが5,6,7の三角形の面積は?

  s=9

  Δ^2=9・4・3・2→△=6√6

[Q]3辺の長さが√5,√7,√9の三角形の面積は?

  Δ^2=s(s−a)(s−b)(s−c)

は使いにくいので

(4Δ)^2=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2−a^4−b^4−c^4

を用いる.

  a^2=5,b^2=7,c^2=9

  16Δ^2=2(35+63+45)−(25+49+81)=131

  △=1/4・√131

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