■シュレーフリの公式と直角三角錐(その26)

 シュレーフリの公式は,四面体の各面の面積をA,二面角のコサインをcとすると,

  A1=c12A2+c13A3+c14A4

  A2=c21A1+c23A3+c24A4

  A3=c31A1+c32A2+c34A4

  A4=c41A1+c42A2+c43A3

なのであるが,これがシュレーフリの公式の各行となる.

 | 1,-c12,-c13,-c14|

 | -c21,1,-c23,-c24|=0・・・ユークリッド単体

 | -c31,-c32,1,-c34|

 | -c41,-c42,-c43,1|

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したがって、基本単体を考えるならば、

 | 1,-cosα,0,0|

 | -cosα,1,-cosβ,0|

 | 0,-cosβ,1,-cosγ|

 | 0,0,-cosγ,1|

=(cosα)^2(cosγ)^2-(cosα)^2-(cosβ)^2-(cosγ)^2+1

=(sinα)^2(sinγ)^2-(cosβ)^2=G>0・・・球面単体

球面単体

シュレーフリは、微分関係式

df(α、β、γ)=(4/π^2)adα

df(α、β、γ)=(4/π^2)(adα+bdβ+cdγ)

一般に

dV=(4/π^2)Σ(ldλ)

を示した

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cosa=sinαcosγ/{(sinα)^2-(cosβ)}^1/2

cosc=sinγcosα/{(sinγ)^2-(cosα)}^1/2

cosb=cosαcosβcosγ/{(sinα)^2-(cosβ)}^1/2{(sinγ)^2-(cosα)}^1/2

(tana)^2=-G/(sinαcosγ)^2

(tanc)^2=-G/(sinγcosα)^2

(tanb)^2=-G(sinβ)^2cosβ/(cosαcosβcosγ)^2

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a=0,b=0, c=0→ sinαsinγ=cosβ・・・ユークリッド単体

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