オイラーはいろいろな工夫をして，

　　log(sinx)=-Σcos(2nx)/n-log2

であることをつきとめ，広義積分

　　∫(0,π/2)log(sinx)dx=-π/2log2

の値を求めています．

　また，これを代入して計算すれば

　　1/1^3+1/3^3+1/5^3+･･･=π^2/4log2+2∫(0,π/2)xlog(sinx)dx

　　ζ（3）＝2π^2/7log2+16/7∫(0,π/2)xlog(sinx)dx

が得られます（１７７２年）．

　　Σcos(2nx)/n=-log(sinx)-log2

というわけですが，ところで（その５）においてシュレーフリ関数について解説した際，

　　Σcos(2nx)/n^2

が出現しました．

　　｜Σcos(2nx)/n^2｜＜Σ1/n^2＝ζ（2）＝π^2／６

は容易にわかりますが，この値は如何に？

　実は，

　　Σcos(2nx)/n^2=(π/2-x)^2−π^2/12

となるのですが，ｘ＝０を代入すると

　　Σ1/n^2=π/2^2−π^2/12=π^2/6

となることがわかります．

　ところで，

　　Σcos(2nx)/n=-log(sinx)-log2

との関係はどうなっているのでしょうか？　そこで，今回のコラムでは，シュレーフリ関数の補足説明を行いたいと思います．

　なお，ログコサイン積分

　　Ｌ(x)＝-∫(0,x)log(cosx)dx

はロバチェフスキー関数，ジログ関数

　　Ｌ2(x)＝Σx^n/n^2＝-∫(0,x)log(1-t)/tdt＝φ(x)

はアーベル関数とも呼ばれ，ともにシュレーフリ関数と関係しています．

　　-log(1-x)=x+x^2/2+･･･＝Σx^n/n

より

　　-∫(0,x)log(1-t)/tdt＝Σx^n/n^2

となることは既におわかりでしょう．

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