【４】シュレーフリ関数Ｆn(θ)

　シュレーフリ関数Ｓ（ｘ，ｙ，ｚ）は，ｎ次元球の最密充填に関する評価式のうち，ｎ＝４に対する場合には利用できますが，一般のｎ次元で使えるようにするために，それを拡張しておく必要があります．また，正単体の諸量を計算するためには，one-parameter化しておいた方が都合がよいと考えられます．

　そこで，シュレーフリは，微小変化量ｄＦが

　　ｄＦn+1(θ)＝Ｆn-1(φ)ｄＦ2

すなわち，２次元の球面上の三角形の面積に比例することを用いて，シュレーフリ関数Ｆn(θ)を

　　Ｆn+1(θ)＝2/π∫(1/2arcsec(n),θ)Ｆn-1(φ)dθ

　　ｓｅｃ２φ＝ｓｅｃ２θ−２

　　Ｆ0(θ)＝1，Ｆ1(θ)＝1

で再帰的に定義しました．

　　ｄＦ2＝2/πｄθ

というわけですが，

　　Ｆ2(θ)＝2/π・θ

　　Ｆ3(θ)＝2/π（θ−π／６）

となることは簡単に確かめられます．

　さらに，シュレーフリは

　　Ｆ2k+1(θ)＝Ｆ2k(θ)-1/3Ｆ2k-2(θ)+2/15Ｆ2k-4(θ)-・・・

と展開され，その係数が

　　ｔａｎｈｘ＝ｘ-1/3ｘ^3+2/15ｘ^5-17/315ｘ^7+(-1)^(n-1)2^(2n)(2^(2n)-1)Bn/(2n!)ｘ^(2n-1)・・・

と同じであることを示しています．

　したがって，奇数次元のシュレーフリ関数に関しては

　　Ｆ3(θ)＝Ｆ2(θ)-1/3＝2/π（θ−π／６）

　　Ｆ5(θ)＝Ｆ4(θ)-1/3Ｆ2(θ)+2/15

　　Ｆ7(θ)＝Ｆ6(θ)-1/3Ｆ4(θ)+2/15Ｆ2(θ)-17/315

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　Ｂnはベルヌーイ数なのですが，ベルヌーイ数とゼータ関数との間には，公式

　　ζ(2k)=(-1)^(k-1)2^(2k-1)Ｂ2k／(2k)!π^(2k)

が成り立ちますから，シュレーフリ関数とポリログ関数との関係が再び示唆されたことになります．

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　　Ｆ3（1/2arccos(1/3)）＝arccos(1/3)／π−１／３

それに対して，Ｆ4(θ)を解析的に求めることは難しく，数値積分で近似値を計算することになるのですが，Ｆ4（1/2arccos(1/4)）の場合，公式

　　Ｆn+1（1/2arccos(1/n)）＝０

を用いて，

　　Ｆ5（1/2arccos(1/4)）＝０

　また，

　　Ｆ5(θ)＝Ｆ4(θ)-1/3Ｆ2(θ)+2/15

より，

　　Ｆ4（1/2arccos(1/4)）＝1/3(arccos(1/4)／π-2/5)

と計算されます．

　このように，シュレーフリ関数を用いると，

　　ｄ3＝√１８（ａｒｃｃｏｓ（１／３）−π／３）＝０．７７９７・・・

　　Ｄ3＝９√３／２（ａｒｃｃｏｓ（１／３）−π／３）＝１．４３１・・・

の計算が可能となるし，４次元空間では，

　　ｄ4＝３√５π（１／２ａｒｃｃｏｓ（１／４）−π／５）＝０．６４７・・・

　　Ｄ4＝１９２／（５√５）π（１／２ａｒｃｃｏｓ（１／４）−π／５）＝１．６５８・・・

となるというわけです．

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