ポリログ関数は

　　ジログ関数：Ｌ2(x)＝Σx^n/n^2＝-∫(0,x)log(1-t)/tdt

　　Ｌn+1(x)＝∫(0,x)Ｌn(t)/tdt

で定義される関数ですが，

　　トリログ関数：Ｌ3(x)=Σx^3/n^3，

　　テトラログ関数：Ｌ4(x)=Σx^4/n^4，

　　ペンタログ関数：Ｌ5(x)=Σx^5/n^5，

などを総称してポリログ関数と呼びます．特に，ジログ関数：

　　Ｌ2(x)＝Σx^n/n^2＝-∫(0,x)log(1-t)/tdt

はアーベルの関数とも呼ばれ，

　　Ｌ2(1)＝ζ(2)＝π^2／６

となります．

　今回のコラムでは，シュレーフリ関数を取り上げます．４次元以上の正多面体を初めて深く研究したのは１９世紀の数学者シュレーフリであって，彼が導入したシュレーフリ関数

　　Ｆn+1(θ)＝2/π∫(1/2arcsec(n),θ)Ｆn-1(φ)dθ

　　ｓｅｃ２φ＝ｓｅｃ２θ−２

　　Ｆ0(θ)＝1，Ｆ1(θ)＝1

はアーベル関数とも密接な関係があるようです．

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【２】基本単体と二面角

　また，ｏnｏn-1・・・ｏ1ｏ0を結んだｎ次元単体を基本単体（シュレーフリ図形）と呼びます．基本単体では，ｏ0ｏ1，ｏ1ｏ2，・・・，ｏn-1ｏnは互いに直交するので，多重直角単体となっています．

　　｛ｏ2ｏ3・・・ｏi｝上ｏ0，ｏ1のなす角∠ｏ0ｏ2ｏ1＝π／ｐ1

　　｛ｏ0ｏ2｝上ｏ1，ｏ3のなす角＝π／ｐ2

　　｛ｏ0ｏ1ｏ4｝上ｏ2，ｏ3のなす角＝π／ｐ3

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　｛ｏ0ｏ1・・・ｏn-2ｏn｝上ｏn-2，ｏn-1のなす角＝π／ｐn-1

　そして，｛ｏ0ｏ1・・・ｏn-2｝上ｏn-1，ｏnのなす角

　　∠ｏn-1ｏn-2ｏn＝π／ｐn-1

は，超平面同士が超辺上でなす二面角δの半分です（注：二胞角というべきですが３次元の場合の用語を転用します）．

　超立方体の二面角はつねに９０°ですが，正単体の２面角は，頂点（ｘ，ｘ，・・・，ｘ），底面の中心ｏn-1（１／ｎ，・・・・，１／ｎ），１つの超辺の中心ｏn-2（０，１／（ｎ−１），・・・，１／（ｎ−１））の関係から

　　ｃｏｓδ＝１／ｎ

また，双対立方体の２面角は，たとえば，頂点（±１，０，・・・，０）と赤道面の１つの超辺の中心ｏn-2（０，１／（ｎ−１），・・・，１／（ｎ−１））より，

　　ｃｏｓδ＝−（ｎ−２）／ｎ

と計算されます．

　正三角形の２次元基本単体は直角三角形（π／６，π／３，π／２）なのですが，１次元基本単体（基本線分）は辺の半分の長さの線分です．それが６＝３！個集まると元の正三角形の表面積（周長）が構成されます．

　また，正四面体の３次元基本単体は重直角四面体なのですが，この重直角四面体ＡＢＣＤの対面を１，２，３，４で表し，面ｉと面ｊの間の二面角を（ｉ，ｊ）で表すと，隣接していない面では

　　（１，３）＝（１，４）＝（２，４）＝π／２

一方，隣接している面同士では

　　（１，２）＝π／３，（２，３）＝π／３，（３，４）＝π／３

さらに，正四面体の２次元基本単体は直角三角形（π／６，π／３，π／２）であって，２４＝４！個で元の正四面体の表面積に等しくなります．

　同様に，ｎ次元単体の基本単体数はｎ！個であることがわかります．また，ｎ次元空間内の正単体の（ｎ−１）次基本単体は，（ｎ−１）次元球面上に射影することによって球面上の基本単体になるのですが，それらの間の二面角は

　　δ／２

　　π／３（隣接しているとき）

　　π／２（隣接していないとき）

であって，単純リー群を使って表現することが可能です．→コラム「無限次元空間の球充填問題（その２）」参照

　シュレーフリ関数Ｆnを用いて，単位超球から得られる楔状体の体積が，

　２^(-n)ｎ！ｖnＦn(θ)

　　δ＝２θ＝arcsec(n)

で与えられることを述べましたが，

　　ｎ！Ｆn（δ／２）

　　ｃｏｓδ＝１／ｎ

が出現した理由はこれらのことによっています．

　また，シュレーフリ関数は二面角が直角の場合を基準としています．二面角が直角の１次元基本単体を外接円に射影すると，外接円は４等分（＝２^2）されます．二面角が直角の２次元単体を外接球に射影すると，外接球は８等分（＝２^3）されます．

　同様に，二面角が直角の（ｎ−１）次元単体を（ｎ−１）次元球面上に射影することによって，ｎ次元超球の（ｎ−１）次元表面積は２^n等分されますから，ｎ次元楔状体の体積に

　　２^(-n)ｖn

が現れるというわけです．

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