■シュレーフリの公式と直角三角錐(その13)

一般のn次元における単体的限界密度の問題を考える  

d2,D2が簡単に求められたのは正三角形による平面充填が可能であるからであって,一般のdn,Dn(n≧3)の計算にはシュレーフリ関数が必要となる

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  F3(1/2arccos(1/3))=arccos(1/3)/π−1/3

それに対して,

  F4(1/2arccos(1/4))

は難しいが,

  Fn+1(1/2arccos(1/n))=0

より,

  F5(1/2arccos(1/4))=0

また,

  F5(θ)=F4(θ)-1/3F2(θ)+2/15

より,

  F4(1/2arccos(1/4))=1/3(arccos(1/4)/π-2/5)

と計算される.

 

 シュレーフリ関数については,後日,もう一度調べ直してから報告したいと考えているのだが,ともあれ,シュレーフリ関数を用いると,

  d3=√18(arccos(1/3)−π/3)=0.7797・・・

  D3=9√3/2(arccos(1/3)−π/3)=1.431・・・

の計算が可能となるし,4次元空間では,

  d4=3√5π(1/2arccos(1/4)−π/5)=0.647・・・

  D4=192/(5√5)π(1/2arccos(1/4)−π/5)=1.658・・・

となるのである.

 

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