一般のｎ次元における単体的限界密度の問題を考える 　

ｄ2，Ｄ2が簡単に求められたのは正三角形による平面充填が可能であるからであって，一般のｄn，Ｄn（ｎ≧３）の計算にはシュレーフリ関数が必要となる

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【１】単体的密度限界とシュレーフリ関数

　すなわち，ｖnをｎ次元単位超球の体積とすると

　　ｄn＝（ｎ＋１個のｎ次元楔状体の体積の和）／Ｖ＝ｆｖn／Ｖ

となるが，２次元では３個の扇状体（中心角π／３）ができるから

　　ｆ＝π／２π＝１／２

となるものの，３次元以上でｆ値を求めるには，シュレーフリ関数によらなければならないというわけである．

　ところで，シュレーフリ関数は

　　Ｆn+1(θ)＝2/π∫(1/2arcsec(n),θ)Ｆn-1(φ)dθ

　　ｓｅｃ２φ＝ｓｅｃ２θ−２

　　Ｆ0(θ)＝1，Ｆ1(θ)＝1

で定義される関数で，

　　Ｆ2(θ)＝2/π・θ

　　Ｆ3(θ)＝2/π（θ−π／６）

となる．

　シュレーフリ関数を用いると，単位超球から得られる楔状体の体積は，

　　２^(-n)ｎ！ｖnＦn(θ)

　　δ＝２θ＝arcsec(n)

で与えられる．

　また，単位超球に内接する正単体の１辺の長さは，

　　Ｒ＝｛２（１＋ｎ）／ｎ｝^(1/2)

その体積は

　　Ｖ＝√（１＋ｎ）／ｎ！・｛２（１＋ｎ）／ｎ｝^(n/2)

したがって，ｎ＋１個の単位超球が辺の長さ

　　√（２（ｎ＋１）／ｎ）

の正単体を被覆するという状況では，

　　Ｄn ＝（ｎ＋１）２^(-n)ｎ！ｖnＦn(θ)／Ｖ

　　　　＝ｎ^(n/2)（ｎ！）^2／２^n（ｎ＋１）^((n-1)/2)・ｖnＦn(1/2arcsec(n)θ)

　　ｄn＝（２ｎ／（ｎ＋１））^(-n/2)Ｄn

　　　　＝（ｎ＋１）^(1/2)（ｎ！）^2／２^(3n/2)・ｖnＦn(1/2arcs

となる．

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