ところで，オイラーはいろいろな工夫をして，

　　log(sinx)=-Σcos(2nx)/n-log2

であることをつきとめ，広義積分

　　∫(0,π/2)log(sinx)dx=-π/2log2

の値を求めています．

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【４】ゼータとポリログ関数

　ζ（4）の積分表示は，ログサイン積分

　　ζ（4）＝17/18∫(0,π/3)θ{log(2sin(θ/2))}^2dθ

であることが得られましたが，それではζ（3）の積分表示はどうなるのでしょうか？

　　2(arcsin(x))^2=Σ(2x)^2n/n^2(2n,n)

などの公式については，コラム「超幾何関数とゼータ関数」を参照して頂きたいのですが，ｘ→−ｉｙとおくと

　　2(arcsinh(y))^2=Σ(-1)^(n-1)(2y)^2n/n^2(2n,n)

が得られます．

　したがって，

　　Σ(-1)^(n-1)/n^3(2n,n)=4∫(0,1/2)(arcsinh(y))^2/ydy

となるのですが，右辺に部分積分を施すことで，

　　Σ(-1)^(n-1)/n^3(2n,n)=-2∫(0,logφ^2)xlog(2sinh(x/2))dx

　このように，ログシンハー積分となるのですが，ここで，

　　Ｌ3(1)＝ζ（3）＝5/4Ｌ3(φ^(-2))+2π^2/15logφ-2/3(logφ)^3

の結果を利用すると，

　　ζ（3）＝Σ(-1)^(n-1)/n^3(2n,n)

を導くことができます．

　以上のことより，ζ（3）の積分表示は，ログシンハー積分

　　ζ（3）＝10∫(0,1/2)(arcsinht)^2/tdt＝10∫(0,logφ)t^2cothtdt

　　　　　 ＝-5∫(0,logφ^2)xlog(2sinh(x/2))dx

で与えられることが理解されます．

　結局，ポリログ関数の理論では，ζ（2），ζ（3），ζ（4）だけが

　　ζ（k）=R*Σ1/n^k(2n,n)，ζ（k）=R*Σ(-1)^(n-1)/n^k(2n,n)

で表されることが確かめられているのですが，最後に，交代級数でない場合の結果

　　Σ1/n^3(2n,n)=4∫(0,1/2)(arcsin(y))^2/ydy

　　　　　　　　=-2∫(0,π/3)xlog(2sin(x/2))dx

も掲げておきます．

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