ところで，オイラーはいろいろな工夫をして，

　　log(sinx)=-Σcos(2nx)/n-log2

であることをつきとめ，広義積分

　　∫(0,π/2)log(sinx)dx=-π/2log2

の値を求めています．

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【４】ゼータとポリログ関数

　　ζ（3）＝2π^2/7log2+16/7∫(0,π/2)xlog(sinx)dx

の∫(0,π/2)xlog(sinx)dxはログサイン積分とも呼ぶべきものですが，ここで，ポリログ関数（polylogarithm）を導入することにしましょう．

　ポリログ関数は

　　ジログ関数：Ｌ2(x)＝Σx^n/n^2＝-∫(0,x)log(1-t)/tdt

　　Ｌn+1(x)＝∫(0,x)Ｌn(t)/tdt

で定義される関数ですが，

　　トリログ関数：Ｌ3(x)=Σx^3/n^3，

　　テトラログ関数：Ｌ4(x)=Σx^4/n^4，

　　ペンタログ関数：Ｌ5(x)=Σx^5/n^5，

　　・・・・・・・

などを総称してポリログ関数と呼びます．

　特に

　　Ｌn(1)＝(-1)^(n-1)/(n-1)!∫(0,1){log(t)}^(n-1)/(1-t)dt

　　　　　＝ζ(n)

より，Ｌn(1)はゼータ関数の特殊値となります．

　ポリログ関数の公式を用いると，オイラーの等式

　　ζ（3）＝2π^2/7log2+16/7∫(0,π/2)xlog(sinx)dx

に相同な等式

　　Ｌ3(1)＝ζ（3）＝5/4Ｌ3(φ^(-2))+2π^2/15logφ-2/3(logφ)^3

　　　　　　　　　φ＝（１＋√５）／２

を得ることができます．

　また，一連のログサイン積分

　　∫(0,π/3){log(2sin(θ/2))}^2dθ=17π^3/108

　　∫(0,π/3)θ(log(2sin(θ/2)))^2dθ=17π^4/6480

も得られますが，ここで，

　　1/2Σ1/n^4(2n,n)=∫(0,π/3)θ{log(2sin(θ/2))}^2dθ

であることが示せれば，ポールテンの問題は達成されたことになります．

（証明）

　　2(arcsin(x))^2=Σ(2x)^2n/n^2(2n,n)

より，

　　Σ1/n^4(2n,n)=∫(0,1/2){∫(0,u)(arcsin(x))^2dx/x}du/u

ここで，右辺に部分積分を２回繰り返すことによって

　　Σ1/n^4(2n,n)=2∫(0,π/3)θ{log(2sin(θ/2))}^2dθ

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