直交双曲四面体では

cosha=sinαcosγ/{(sinα)^2-(cosβ)}^1/2

coshc=sinγcosα/{(sinγ)^2-(cosα)}^1/2

coshb=cosαcosβcosγ/{(sinα)^2-(cosβ)}^1/2{(sinγ)^2-(cosα)}^1/2

(tanha)^2=-G/(sinαcosγ)^2

(tanhc)^2=-G/(sinγcosα)^2

(tanhb)^2=-G(sinβ)^2cosβ/(cosαcosβcosγ)^2

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双曲四面体の体積と辺の長さや面角との基本的な関係に、シュレーフリの関係式がある。

Vを双曲四面体Tの体積、Eをその辺、Eの長さをＬ、Ｅでの面角をθとする。

このとき

∂Ｖ/∂θ＝-Ｌ/2

が成り立つ。

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ロバチェフスキー関数を導入する。

Λ(x)=-∫(0,x)log(2sinθ)dθ

[0,π]

Λ(0)=0,Λ(π)=0Λ,(π/2)=0

(tanδ)^2=-G/(cosαcosγ)^2で定めると

Ｖ＝1/4{Λ(α+δ)-Λ(α-δ)+Λ(γ+δ)-Λ(γ-δ)-Λ(π/2-β+δ)+Λ(π/2-β-δ)+2Λ(π/2-δ)}

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4∂Ｖ/∂δ＝０→ ∂Ｖ/∂α＝-a/2が証明される

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双曲四面体の各頂点を無限遠に伸ばしたものを理想四面体という

理想四面体の体積は

Ｖ＝Λ(α)＋Λ(β)+Λ(γ)

で与えられる。

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