外接円の半径:R

内接円の半径:r

外接円と内接円の中心間距離:d

とおく

任意の三角形は外心・内心をもつ。2心間の距離について、2次同次式:R^2-2Rr=d^2が成り立つ（オイラー）。

オイラーの関係式を導き出すことは見かけより厄介であるが、ポンスレーの不定命題を使えば簡単にオイラーの関係式を導き出せる。オイラーの関係式を導き出せば、正三角形でない場合、直ちにR ≧ 2rがわかる。

任意の三角形は外心と内心をもつが、四角形ではそうではない。しかし、双心四角形の場合、 2心間の距離について、4次同次式:

2r^2(R^2+d^2)=(R^2-d^2）^2（フース）が成り立つ

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双心n角形(n=4~8)の基底はフースが見つけたとされるが、実際は基底を与える方程式を導いただけで、解を示すことはできなかったと思われる。

n=3: 2次同次式（3項）

n=4: 4次同次式（5項）

n=5: 6次同次式（10項）

n=6: 8次同次式（10項）

n=7: 12次同次式（28項）

n=8: 16次同次式（30項）

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双心五角形

　　d^6-2d^4rR+8d^2r^3R-3d^4R^2-4d^2r^2R^2+4d^2rR^3+3d^2R^4+4r^2R^4-2rR^5-R^6=0

双心六角形

　　3d^8-4d^6r^2-12d^6R^2+4d^4r^2R^2-16d^2r^4R^2+18d^4R^4+4d^2r^2R^4-12d^2R^6-4r^2R^6+3R^8=0

双心七角形

　　d^12+4d^10rR-24d^8r^3R+32d^6r^5R-6d^10R^2-4d^8r^2R^2

-16d^6r^4R^2-20d^8rR^3+64d^6r^3R^3+15d^8R^4+16d^6r^2R^4

+32d^4r^4R^4+64d^2r^6R^4+40d^6rR^5-48d^4r^3R^5-32d^2r^5R^5

-20d^6R^6-24d^4r^2R^6-16d^2r^4R^6-40d^4rR^7+15d^4R^8

+16d^2r^2R^8+20d^2rR^9+8r^3R^9-6d^2R^10-4r^2R^10-4rR^11+R^12=0

双心八角形

d16-8 d14 r2+8 d12 r4-8 d14 R2+40 d12 r2 R2+48 d10 r4 R2-128 d8 r6 R2+128 d6 r8 R2+28 d12 R4-72 d10 r2 R4-264 d8 r4 R4+128 d6 r6 R4-56 d10 R6+40 d8 r2 R6+416 d6 r4 R6+128 d4 r6 R6+128 d2 r8 R6+70 d8 R8+40 d6 r2 R8-264 d4 r4 R8-128 d2 r6 R8-56 d6 R10-72 d4 r2 R10+48 d2 r4 R10+28 d4 R12+40 d2 r2 R12+8 r4 R12-8 d2 R14-8 r2 R14+R16=0

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