円に内接する正ｎ角形を考える。

円周上の動点からｎ個の頂点までの距離の２ｍ乗和は，定数となって

2mＣmｎ　　（ｎ＞ｍ）

に等しい（セームールの定理）．

２ｍ＋１乗和は定数にならない．

ｎ個の頂点までの距離は三角関数で与えられるが、偶数乗は定数・奇数乗は定数にならないという類似の図式は

ゼータ関数の特殊値にみられる特徴的なものである。

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また、中央二項係数

　　2mＣm

は、ゼータ関数と強く結びついている。

決して有名とはいえないのだが，次のようなゼータ関数に帰着する無限級数（n=1~∞）が知られている．２項係数nＣkを(n,k)と書くことにすると

　　Σ1/(2n,n)={2π√3+9}/27

　　Σ1/n(2n,n)=π√3/9

　　3Σ1/n^2(2n,n)=ζ（2）

　　12Σ(2-√3)^n/n^2(2n,n)=ζ（2）

　　5/2Σ(-1)^(n-1)/n^3(2n,n)=ζ（3）

　　36/17Σ1/n^4(2n,n)=ζ（4）

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