ラマヌジャンなど伝説的な数学者の伝記を読むと神がかり的なエピソードがつきものですから、数学者は何でも知っているし何でもお見通しの人種であるとイメージされているかもしれません。実際、数学の世界にはごく稀ですが、高次元の世界をイメージできる人がいます。たとえば、ペトリーは子供の頃から数学に対する異常な能力を示し、４次元図形を直観的に見ることができたといわれています。

しかしながら、３次元の世界を視覚化できるだけでも十分に稀有な能力であって、数学者であっても２次元のイメージで何とかやっている人がほとんどです。

一方、 2次元・３次元の定理であっても、次元あげて4次元空間に一般化することによって初めて本質が見えてくることは少なくありません。 2次元・３次元の事象は4次元空間の一断面になっているからです。

高次元では直観は働きにくいので、誰にとっても(無論私にとっても)とっつきにくい代物です。それでも学べばわかるようになりますし、わかればもっと深く知りたくなります。（人の努力はなかなか実らないが，決して無駄にはならないものである．）

ここではいささか天下り式に与えられたいくつかの数式・関係式、

Boerdijk-Coxeterらせんのねじれ角の計算に用いた2次方程式 3λ2+4λ+3=0

の理解の一助とすべく、高次元結晶幾何学の視点からの補足を試みます。

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ハーレーはαnらせんのねじれ角に関して非常にパワフルな方程式を発見した。

2λ+2=0 (α2 helix)

3λ2+4λ+3=0 (α3 helix)

4λ3+6λ2+6λ+4=0 (α4 helix)

5λ4+8λ3+9λ2+8λ+5=0 (α5 helix)

6λ5+10λ4+12λ3+12λ2+10λ+6=0 (α6 helix)

Vn(λ)=Σk(n+1-k)λn-k=0 (αn helix)

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4次元の場合は

4λ3+6λ2+6λ+4=2(λ+1) (2λ2+λ+2)=0 (α4 helix)

→ λ=(-1±√(-7))/4=cosξ+i・sinξ

→ cosξ=-1/4, ξ=104.48°

5次元の場合は

5λ4+8λ3+9λ2+8λ+5=0 (α5 helix)

→ μ=λ+1/λ → 5μ2+8μ-1=0　

→ cosξ=(-4+√21)/10, ξ=86.66°

6次元の場合は

6λ5+10λ4+12λ3+12λ2+10λ+6=0 (α6 helix)

→ 3λ4+2λ3+4λ2+2λ+3=0 → 3μ2+2μ-2=0

→ cosξ=(-1+√7)/6, ξ=74.08°

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