辺数３，４，５，６，８，１０，１２，１５，１６の正多角形は作図できますが、辺数７，９，１１，１３，１４の正多角形は作図できないことから、正１７角形もそうであろうと推察されます。ところが、１７９６年、ガウスは１９才のときに正１７角形の作図を思いつき、のみならず、ｎが素数の正ｎ角形について、ｎ＝２2^m＋１が素数の場合に限り定規とコンパスだけで作図可能であることを発見しています。

正７角形も正９角形も作図できないのに、まさか正１７角形が作図できるとはと思うのが普通なのでしょうが、このことを用いると、ｍ＝０のとき正３角形、ｍ＝１のとき正５角形、ｍ＝２のとき正１７角形となり、作図可能であることがわかります。当然、ずっと面倒になるでしょうが、正２５７角形（ｍ＝３）、正６５５３７角形（ｍ＝４）も作図可能です。

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１７９６年，ガウスは

cos(2π/17)=1/16・(A+B+C)=0.932472･･･

A=-1+√17

B=(34-2√17)^1/2

C=2{(17+3√17)-(34-2√17)^1/2-2(34+2√17)^1/2 }^1/2

となり，正１７角形が定規とコンパスだけで作図可能であることを示しています．

単位円に内接する正十七角形の辺の長さは

2sin(π/17)=1/2√2・(A-B-C)^1/2=0.367499・・・

A=17-√17

B=(34-2√17)^1/2

C=2{(17+3√17)-(34-2√17)^1/2-2(34+2√17)^1/2 }^1/2

の形で与えられる．

正１７角形では３重根号数や４重根号数が登場し、誰でも寒気を感じることでしょう。実際、気力が失われそうな作業が待ち受けていますが，正１７角形は定規とコンパスで作図できるのです。

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