[Q]外円の直径が６寸、甲円の直径が２寸のとき、乙円・丙円・丁円の直径を求めよ

1830年、一関の和算家・千葉秀胤編集「算法新書」の問題を改題

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外接円の半径:R

内接円の半径:r

外接円と内接円の中心間距離:d

s=(1-sin(π/n))/(1+sin(π/n))

とおく

2次同次式: d^2=R^2-Rr(s+1/s)+r^2

=(R-rs)(R-r/s)が成り立つ

同心円の場合、r/R=s, R(1-sin(π/n)) =r(1+sin(π/n))でr/Rは最大となる

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ピタゴラスの定理でも解けますが、

2次同次式: d^2=R^2-Rr(s+1/s)+r^2

を使ってみてください

n=4 → s+1/s=6

2R=6 (外円の直径)

R-d-r=2 (甲円の直径) → d=1-r

d^2=9-18r+r^2に代入 → r=1/2,d=1/2

R+d-r=3 (丙円の直径は3寸)

2r=1 (丁円の直径は1寸）

乙円の直径は2.4寸(余弦定理)

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