ところが、掛谷の問題はこれで終わりではなかった・・・

掛谷の問題を星状図形に制限すると、どうなるのだろうか?

星状図形に対する掛谷の問題では、針の回転の可能な星状図形の面積は必ず

π/108以上である

すなわち、ベシコヴィッチ型定理は存在しないのである。

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[1]ペリトロコイド星状図形

長さが1である線分を1回転させることのできるペリトロコイド星状図形の面積は[π/8,π/4)である

すなわち、下限はデルトイドである。

π/8=.392699

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[2]包絡線星状図形

.448431

.411505

.397713

.391406＜π/8=.392699

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[3]円弧星状図形

.396782

.316801＜π/8=.392699

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星状図形に対する掛谷の問題は未解決で、

現在知られている最適値は(掛谷定数)

(5-2√2)π/24=0.2842582246・・・

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