【３】非周期的タイル

周期的な平面充填に対して，平行移動の周期がない非周期的平面充填についても多くの研究がなされています．現在のところ，１９７４年に，イギリスの数理物理学者ペンローズの発見した２種類の菱形を組み合わせて平面を隙間なく，かつ，非周期的に敷きつめるものが最も構成要素の少ないものです．ペンローズタイルと呼ばれるこの敷きつめかたは，局所的には正五角形のような５重の対称性がありますが，全体としては対称性をもちません．

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[1]P1タイル

正五角形，星形正五角形，菱形，帽子形の４種類の基本図形からできている。その後，ペンローズは４種類の基本図形を２種類に減らした．

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[2]P2タイル

凧と矢。魚の尻尾みたいな凹四角形と凧形（凸四角形）の２つの構成要素からなる。矢の方が多くて黄金比に近づいていく．両者の面積比も黄金比である．

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