フィボナッチ数の連続する４項にもピタゴラス三角形と関係する奇妙な関係があります．任意の連続する４項を

　　ａ，ｂ，ｃ，ｄ

とすると，

　　（ａ・ｄ）^2＋（２ｂ・ｃ）^2＝（ｂ^2＋ｃ^2）^2

が成り立つ．

［証］

ｃ＝ａ＋ｂ→ａ＝ｃ−ｂ

　ｄ＝ｂ＋ｃ

ａ，ｄを消去すると

　（ａｄ）^2＝（ｃ^2−ｂ^2）^2であるから

　（ｃ^2−ｂ^2）^2＋（２ｂｃ）^2＝（ｂ^2＋ｃ^2）^2

　この関係式はすべてのピタゴラスの三つ組みを生み出すわけではないが，無限個のピタゴラスの三つ組みを生み出してくれる．たとえば，ａ＝１，ｂ＝１，ｃ＝２，ｄ＝３→３^2＋４^2＝５^2

　２，３，５，８の場合

［１］外側の２数の積：２・８

［２］内側の２数の積の２倍：２・３・５

［３］内側の２数の平方和：３^2＋５^2＝３４

　１６^2＋３０^2＝３４^2

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　　ａ=Fn，ｂ=Fn+1，ｃ=Fn+2，ｄ=Fn+3

とおくと

(FnFn+3)^2+(2Fn+1Fn+2)^2=((Fn+1)^2+(Fn+2)^2)^2

を満たすというわけです。

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F2n+1=(Fn)^2+(Fn+1)^2ですから

F2n+3=(Fn+1)^2+(Fn+2)^2

と書くことができます。

F1^2+F2^2+・・・+Fn^2=FnFn+1ですから

F1^2+F2^2+・・・+Fn^2+Fn+1^2=Fn+1Fn+2

と書くことができます。

なお、カッシーニの等式

Fn+1Fn-1-(Fn)^2=(-1)^n

のリュカ数版は

(Ln)^2-Ln+Ln-1=5(-1)^n

である。

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