■フィボナッチ三角形(その3)

フィボナッチ数の連続する4項にもピタゴラス三角形と関係する奇妙な関係があります.任意の連続する4項を

  a,b,c,d

とすると,

  (a・d)^2+(2b・c)^2=(b^2+c^2)^2

が成り立つ.

[証]

c=a+b→a=c−b

 d=b+c

a,dを消去すると

 (ad)^2=(c^2−b^2)^2であるから

 (c^2−b^2)^2+(2bc)^2=(b^2+c^2)^2

 この関係式はすべてのピタゴラスの三つ組みを生み出すわけではないが,無限個のピタゴラスの三つ組みを生み出してくれる.たとえば,a=1,b=1,c=2,d=3→3^2+4^2=5^2

 2,3,5,8の場合

[1]外側の2数の積:2・8

[2]内側の2数の積の2倍:2・3・5

[3]内側の2数の平方和:3^2+5^2=34

 16^2+30^2=34^2

===================================

  a=Fn,b=Fn+1,c=Fn+2,d=Fn+3

とおくと

(FnFn+3)^2+(2Fn+1Fn+2)^2=((Fn+1)^2+(Fn+2)^2)^2

を満たすというわけです。

===================================

F2n+1=(Fn)^2+(Fn+1)^2ですから

F2n+3=(Fn+1)^2+(Fn+2)^2

と書くことができます。

F1^2+F2^2+・・・+Fn^2=FnFn+1ですから

F1^2+F2^2+・・・+Fn^2+Fn+1^2=Fn+1Fn+2

と書くことができます。

なお、カッシーニの等式

Fn+1Fn-1-(Fn)^2=(-1)^n

のリュカ数版は

(Ln)^2-Ln+Ln-1=5(-1)^n

である。

===================================