コラッツ予想は，ループ

　　１０１００１→１１１１１→１０１１１１→・・・

が巡回することなしに１０１０・・・０１０１にたどり着くかどうかという問題になる．

同じ値が現れないことをみた．同じ値が現れなければいつかは１に収束すると思われるので，コラッツ予想では巡回しないことが本質のように思える．同様の未解決問題にマルコフ予想があげられる．

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　　｛１，２，５，１３，２９，３４，８９，１６９，１９４，２３３，４３３，６１０，９８５，・・・｝

ここにはマルコフ・スべクトルの成分が可算無限個含まれている．

　この数列の一般項は

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝３ｘｙｚ

の正の整数解である．また，ラグランジュ・スペクトルは，正の整数解のうち，最も大きいものをｍとした場合，

　　ｘ＝√（９−４／ｍ^2），√５≦ｘ＜３

となる．

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【１】マルコフ数

　３元２次のディオファントス方程式

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝３ｘｙｚ

のすべての解を求める問題は，たとえば３元３次の方程式ｘ^3＋ｙ^3＋ｚ^3＝ｘ＋ｙ＋ｚの場合とは違って，ｘ，ｙ，ｚの各変数に関して２次式になっているので１つの解の中の数を使って別の解を作ることができます．

　ｚ＝ｘｙ／２・｛３±（９−４／ｘ^2−４／ｙ＾２）^1/2｝

であり，すべての解は特異解（１，１，１），（１，１，２）から生成されます．たとえば（ｘ，ｙ，ｚ）＝（１，１，１），（２，１，１），（５，１，２），（１３，１，５），（２９，５，２），・・・はひとつの整数解が次の解を導き，

　　（ｘ，ｙ）＝（１，１）→ｚ＝１，２

　　（ｘ，ｙ）＝（１，２）→ｚ＝１，５

　　（ｘ，ｙ）＝（１，５）→ｚ＝２，１３

　　（ｘ，ｙ）＝（２，５）→ｚ＝１，２９

　ｘ≦ｙ≦ｚとしても一般性は失われませんが，特異解（１，１，１），（１，１，２）以外のすべての解はｘ，ｙ，ｚの値が相異なります（ｘ＜ｙ＜ｚ）．

　こうして，２次のディオファントス方程式ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝３ｘｙｚの解として現れる，

　　１，２，５，１３，２９，３４，８９，１６９，１９４，２３３，４３３，６１０，９８５，・・・

はマルコフ数と呼ばれます．

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