フィボナッチ数の2乗和がｎ番目とｎ+1番目の積になること

F1^2+F2^2+・・・+Fn^2=FnFn+1

は数学的帰納法で簡単に証明することができます。

n=kのとき正しいと仮定すると

F1^2+F2^2+・・・+Fk^2=FkFk+1

n=k+1のとき

F1^2+F2^2+・・・+Fk^2FkFk+1=FkFk+1FkFk+1=Fk+1(Fk+Fk+1)=Fk+1Fk+2

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Fn+m=FmFn+1+Fm-1Fn

も帰納法で証明できる。

m=2とすれば、基本的な漸化式

Fn+2=Fn+1+Fn

になる。

Zn=fnとすれば

Zn+m=ZmZn+Zm-1ZFn-1

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カッシーニの等式

Fn+1Fn-1-Fn^2=(-1)^n

細矢インデックスで使われているfnについては

fn^2-fn+1fn-1=(-1)^n

となる。

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Fn=fn-1で、Fnについての関係式をについての関係式に変換してみたい。

Fn=Fn-1+Fn-2→fn-1=fn-2+fn-3→fn=fn-1+fn-2

Fn-1Fn-Fn-2Fn+1=(-1)^n→fn-2Fn-1-fn-3fn=(-1)^n

Fn+1Fn-1-Fn^2=(-1)^n→fnfn-2-fn-1^2=(-1)^n→fn+1fn-1-fn^2=-(-1)^n→fn^2-fn+1fn-1=(-1)^n

Fn+kFm-k-FnFm=(-1)^nFm-n-kFk→fn+k-1fm-k-1-fn-1fm-1=(-1)^nfm-n-k-1fk-1

Fn+m=FmFn+1+Fm-1Fn→fn+m-1=fm-1fn+fm-2fn-1→m:=m+1とするとfn+m=fmfn+fm-1fn-1

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