フィボナッチ数の2乗和がｎ番目とｎ+1番目の積になること

F1^2+F2^2+・・・+Fn^2=FnFn+1

は数学的帰納法で簡単に証明することができます。

n=kのとき正しいと仮定すると

F1^2+F2^2+・・・+Fk^2=FkFk+1

n=k+1のとき

F1^2+F2^2+・・・+Fk^2FkFk+1=FkFk+1FkFk+1=Fk+1(Fk+Fk+1)=Fk+1Fk+2

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Fn+m=FmFn+1+Fm-1Fn

も帰納法で証明できる。

m=2とすれば、基本的な漸化式

Fn+2=Fn+1+Fn

になる。

Zn=fnとすれば

Zn+m=ZmZn+Zm-1ZFn-1

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カッシーニの等式

Fn+1Fn-1-Fn^2=(-1)^n

細矢インデックスで使われているfnについては

fn^2-fn+1fn-1=(-1)^nF

となる。

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