■細矢インデックス(その41)

 正多角形は当然面心多角形である.

  x1=・・・=xn=2cos2pπ/n

  Pm(cos2mpπ/n,xsin2mpπ/n)

以下,第2種チェビシェフ多項式との関連を述べる.こんなところにもチェビシェフ多項式は現れる.

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[ x −1  0  0     0]

[−1  x −1  0      ]

[0  −1  x −1      ]=Un(x)

[0  0  −1  x      ]

[             x −1]

[0           −1  x]

un(x)=detUn(x)

で定義すると,Un(x/2)=un(x)が成り立つ.

[x1  −1  0  0      0]

[−1 x2  −1  0       ]

[0  −1 x3  −1       ]=Un(x1,・・・,xn)

[0  0  −1  x4       ]

[            xn-1  −1]

[0           −1  xn ]

は第2種チェビシェフ多項式の自然な多変数版になっている.

un(x1,・・・,xn)=detUn(x1,・・・,xn)

 また,

u[i,j]=un(xi,xi+1,・・・,xj-1,xj)

で定義する.

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  [参]硲文夫「面心の代数幾何学」東京電機大学出版会

によると,チェビシェフ多様体の定義方程式

  u[1,n](x1,・・・,xn)−c

の特異点は

[1]nが奇数のとき存在しない

[2]nが偶数のとき,解は原点のみである.ただし,

  n=0 (mod4)のとき,c=1

  n=2 (mod4)のとき,c=−1

 たとえば,n=4のとき,c=1

  u[1,n](x1,・・・,x4)−c

=x1x2x3x4−x1x2−x1x4−x3x4+1−1

は,x2=t2x1,x3=t3x1,x4=t4x1と置くことによって,特異点が解消される.

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