正多角形は当然面心多角形である．

　　ｘ1＝・・・＝ｘn＝２ｃｏｓ２ｐπ／ｎ

　　Ｐm（ｃｏｓ２ｍｐπ／ｎ，ｘｓｉｎ２ｍｐπ／ｎ）

以下，第２種チェビシェフ多項式との関連を述べる．こんなところにもチェビシェフ多項式は現れる．

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［　ｘ　−１　　０　　０　　　　　０］

［−１　　ｘ　−１　　０　　　　　　］

［０　　−１　　ｘ　−１　　　　　　］＝Ｕn（ｘ）

［０　　０　　−１　　ｘ　　　　　　］

［　　　　　　　　　　　　　ｘ　−１］

［０　　　　　 　　　　　−１　　ｘ］

ｕn（ｘ）＝ｄｅｔＵn（ｘ）

で定義すると，Ｕn（ｘ／２）＝ｕn（ｘ）が成り立つ．

［ｘ1 　−１　　０　　０　　　　　　０］

［−１　ｘ2 　−１　　０　　　　　　　］

［０　　−１　ｘ3 　−１　　　　　　　］＝Ｕn（ｘ1，・・・，ｘn）

［０　　０　　−１　　ｘ4 　　　　　　］

［　　　　　　　　　　　　ｘn-1 　−１］

［０　　　　　 　　　　　−１　　ｘn ］

は第２種チェビシェフ多項式の自然な多変数版になっている．

ｕn（ｘ1，・・・，ｘn）＝ｄｅｔＵn（ｘ1，・・・，ｘn）

　また，

ｕ［ｉ，ｊ］＝ｕn（ｘi，ｘi+1，・・・，ｘj-1，ｘj）

で定義する．

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　　［参］硲文夫「面心の代数幾何学」東京電機大学出版会

によると，チェビシェフ多様体の定義方程式

　　ｕ［１，ｎ］（ｘ1，・・・，ｘn）−ｃ

の特異点は

［１］ｎが奇数のとき存在しない

［２］ｎが偶数のとき，解は原点のみである．ただし，

　　ｎ＝０　（ｍｏｄ４）のとき，ｃ＝１

　　ｎ＝２　（ｍｏｄ４）のとき，ｃ＝−１

　たとえば，ｎ＝４のとき，ｃ＝１

　　ｕ［１，ｎ］（ｘ1，・・・，ｘ4）−ｃ

＝ｘ1ｘ2ｘ3ｘ4−ｘ1ｘ2−ｘ1ｘ4−ｘ3ｘ4＋１−１

は，ｘ2＝ｔ2ｘ1，ｘ3＝ｔ3ｘ1，ｘ4＝ｔ4ｘ1と置くことによって，特異点が解消される．

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