x=ecos{(n-1)t-s}+Rcos(t-s)+ecos(n-2)s

y=esin{(n-1)t-s}+Rsin(t-s)+esin(n-2)s

の直線近似を求めたい。

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x'=-(n-1-s')esin{(n-1)t-s}-(1-s')Rsin(t-s)-(n-2)s'esin(n-2)s

y'= (n-1-s')ecos{(n-1)t-s}+(1-s')Rcos(t-s)+(n-2)s'ecos(n-2)s

x''=-(-s'')esin{(n-1)t-s}-(n-1-s')^2ecos{(n-1)t-s}-(-s'')Rsin(t-s)-(1-s')^2Rcos(t-s)-(n-2)s''esin(n-2)s-((n-2)s')^2ecos(n-2)s

y''= (-s'')ecos{(n-1)t-s}-(n-1-s')^2esin{(n-1)t-s}+(-s'')Rcos(t-s)-(1-s')^2Rsin(t-s)+(n-2)s''ecos(n-2)s-((n-2)s')^2esin(n-2)s

x'=-(n-1-s')esin{(n-1)t-s}-(1-s')Rsin(t-s)-(n-2)s'esin(n-2)s

y''= (-s'')ecos{(n-1)t-s}-(n-1-s')^2esin{(n-1)t-s}+(-s'')Rcos(t-s)-(1-s')^2Rsin(t-s)+(n-2)s''ecos(n-2)s-((n-2)s')^2esin(n-2)s

y'= (n-1-s')ecos{(n-1)t-s}+(1-s')Rcos(t-s)+(n-2)s'ecos(n-2)s

x''=-(-s'')esin{(n-1)t-s}-(n-1-s')^2ecos{(n-1)t-s}-(-s'')Rsin(t-s)-(1-s')^2Rcos(t-s)-(n-2)s''esin(n-2)s-((n-2)s')^2ecos(n-2)s

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x'y''-x''y'=・・・

これが解ければ直線近似できるのであるが、簡単な形にならない。

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x'y''-x''y'=R^2+RecosA+e^2cosB+e^2と書ける。そこで

=(R+ecosC)^2と書けたとすると

=R^2+2RecosC+e^2cos^2C

=R^2+2RecosC+e^2(1+cos2C)/2

(1-s')^3R^2+・・・+{(n-1-s')^3+((n-2)s')^3}e^2

しかし、これは無理であろう。数値的に確認するしかないように思える。

そこで、x'y''-x''y'=・・・の値域を求めることにする

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d=Rsin(n-2)t/(Rcos(n-2)t+e(n-1))

d'=(n-2)Rcos(n-2)t{Rcos(n-2)t+e(n-1)}-Rsin(n-2)t{-(n-2)Rsin(n-2)t}/(Rcos(n-2)t+e(n-1)}^2

={(n-2)R^2+(n-1)(n-2)Recos(n-2)t}/(Rcos(n-2)t+e(n-1)}^2

d''={-(n-1)(n-2)^2Resin(n-2)t}(Rcos(n-2)t+e(n-1)}^2-{(n-2)R^2+(n-1)(n-2)Recos(n-2)t}2(Rcos(n-2)t+e(n-1)}(-(n-2)Rsin(n-2)t)/

/(Rcos(n-2)t+e(n-1)}^4

d''={-(n-1)(n-2)^2Resin(n-2)t}(Rcos(n-2)t+e(n-1)}-{(n-2)R^2+(n-1)(n-2)Recos(n-2)t}2(-(n-2)Rsin(n-2)t)/

/(Rcos(n-2)t+e(n-1)}^3

d''=-(n-2)Rsin(n-2)t){(n-1)(n-2)e(Rcos(n-2)t+e(n-1))-2{(n-2)R^2+(n-1)(n-2)Recos(n-2)t}}

/(Rcos(n-2)t+e(n-1)}^3

d''=-(n-2)Rsin(n-2)t){{-(n-1)(n-2)Recos(n-2)t+e^2(n-1)^2(n-2)-2(n-2)R^2}

/(Rcos(n-2)t+e(n-1)}^3

d''=-(n-2)^2Rsin(n-2)t){{-(n-1)Recos(n-2)t+e^2(n-1)^2-2R^2}

/(Rcos(n-2)t+e(n-1)}^3

s'=1-2d' /(n-1)(1+d^2)

s''=2/(n-1)・(d''(1+d^2)-2d'dd')/(1+d^2)^2

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x'y''-x''y'=の符号が一定となるのは

n=4→K=4.5

n=5→K=8.1

n=6→K=12.5

のときであった。

プログラム確認。

簡単な形に整理されないので、数値的に確認するしかなかったことになる。

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