■細矢インデックス(その20)

 黄金比の一般化として,

[1]黄金比(n=1)

  φ=[1:1,1,1,,1,・・・]

  an+2=an+1+an

  1,1,2,3,5,8,・・・

[2]白銀比(n=2)

  1+√2=[2:2,2,2,2,・・・]

  an+2=2an+1+an

  1,1,3,7,17,41,・・・

[3]青銅比(n=3)

  (3+√13)/2=[3:3,3,3,3,・・・]

  an+2=3an+1+an

  1,1,4,13,43,142,・・・

がある.

 ここで、白銀比(n=2)は

  1+√2=(2+√8)/2

と書くことができる。

(1+√5)/2

(2+√8)/2

(3+√13)/2

とならべるとルートの中にはフィボナッチ数が並ぶように見えるが・・・

===================================

 この操作は

  x^2−nx−1=0の根: (n+√(n^2+4))/2

が,無限連分数

  (n+√(n^2+4))/2=[n:n,n,n,,n,・・・]

で表されることと同義である.

 したがって、ルートのなかはフィボナッチ数ではなく、

  5,8,13,20,29、・・・

と続くことになる。

===================================