このシリーズではチェビシェフ多項式以外にも，ペル数，フィボナッチ数，リュカ数が現れました．今回のコラムではこれらについてまとめておきます．

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【１】ペル数

　ａn＝２ａn-1＋ａn-2という漸化式で生成される数列

　　１，２，５，１２，２９，７０，１６９，４０８，・・・

はペル数列と呼ばれます．ペル数列の特性方程式

　　ｘ^2−２ｘ−１＝０

の２根を

　　γ＝１＋√２，δ＝１−√２

とおくと，ペル数列の一般項は，

　　Ｐn ＝１／２√２（γ^n+1−δ^n+1）　　　（n:0~)

　また，ペル・リュカ数列

　　２，２，６，１４，３４，８２，・・・

の一般項は

　　Ｑn ＝γ^n＋δ^n　　　（n:0~)

で表されます．

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【２】フィボナッチ数とリュカ数

　ａn＝ａn-1＋ａn-2という漸化式で生成される数列の特性方程式

　　ｘ^2−２ｘ−１＝０

の２根を

　　α＝（１＋√５）／２，β＝（１−√５）／２

とおくと，フィボナッチ数列

　　１，１，２，３，５，８，・・・

の一般項は，

　　Ｆn ＝１／√５（α^n+1−β^n+1）　　　（n:0~)

リュカ数列

　　２，１，３，４，７，１１，・・・

の一般項は

　　Ｌn＝α^n＋β^n　　　（n:0~)

で表されます．

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【３】一般化

　　ｆn＝（ｃ＋１）ｆn-1＋ｆn-2

において，

　　ｆ0＝１，ｆ1＝ｃ＋１　　　（Ａc）

　　ｆ0＝２，ｆ1＝ｃ＋１　　　（Ｂc）

とすると，

　　Ａ0＝｛Ｆn｝，Ｂ0＝｛Ｌn｝

　　Ａ1＝｛Ｐn｝，Ｂ1＝｛Ｑn｝

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ｃ=0のとき、フィボナッチ数、黄金比

ｃ=1のとき、ペル数、白銀比と対応しているわけです。

　２次方程式：ｘ^2−ｎｘ−１＝０を考えます．

ｘ＝｛ｎ+（ｎ^2＋４）^1/2｝/２

これらの比を統一的に金属比と呼びます。２次方程式：ｘ^2−ｐｘ−ｑ＝０で考えると

［１］黄金比：ｐ＝１，ｑ＝１→（１＋√５）／２

連分数展開［１：１，１，１，・・・］

［２］白銀比：ｐ＝２，ｑ＝１→（１＋√２）

連分数展開［２：２，２，２，・・・］

［３］青銅比：ｐ＝３，ｑ＝１→（３＋√１３）／２

連分数展開［３：３，３，３，・・・］

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