■細矢インデックス(その14)

 このシリーズではチェビシェフ多項式以外にも,ペル数,フィボナッチ数,リュカ数が現れました.今回のコラムではこれらについてまとめておきます.

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【1】ペル数

 an=2an-1+an-2という漸化式で生成される数列

  1,2,5,12,29,70,169,408,・・・

はペル数列と呼ばれます.ペル数列の特性方程式

  x^2−2x−1=0

の2根を

  γ=1+√2,δ=1−√2

とおくと,ペル数列の一般項は,

  Pn =1/2√2(γ^n+1−δ^n+1)   (n:0~)

 また,ペル・リュカ数列

  2,2,6,14,34,82,・・・

の一般項は

  Qn =γ^n+δ^n   (n:0~)

で表されます.

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【2】フィボナッチ数とリュカ数

 an=an-1+an-2という漸化式で生成される数列の特性方程式

  x^2−2x−1=0

の2根を

  α=(1+√5)/2,β=(1−√5)/2

とおくと,フィボナッチ数列

  1,1,2,3,5,8,・・・

の一般項は,

  Fn =1/√5(α^n+1−β^n+1)   (n:0~)

  

リュカ数列

  2,1,3,4,7,11,・・・

の一般項は

  Ln=α^n+β^n   (n:0~)

で表されます.

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【3】一般化

  fn=(c+1)fn-1+fn-2

において,

  f0=1,f1=c+1   (Ac)

  f0=2,f1=c+1   (Bc)

とすると,

  A0={Fn},B0={Ln}

  A1={Pn},B1={Qn}

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