ペル方程式：ｘ^2−ｄｙ^2＝１について，フェルマーは少なくとも１つの自明でない整数解（（ｘ，ｙ）＝（±１，０）以外の解が存在するだろうと予想しましたが，この予想は１７６８年，ラグランジュにより証明されています．

　この方程式は無限に多くの解をもち，基本解（最小の整数解）を（ｘ，ｙ）とおくと一般解は

　　±（ｘ＋ｙ√ｄ）^n　　　ｎ＝０，±１，±２，・・・

により与えられます．ペル方程式は√ｄの最良近似値を次々に生成する所以です．

　今回のコラムではまずｄ＝２の場合を扱ってみましょう．

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【１】√２の近似値とペル数列

　√２は２つの整数の比ｐ／ｑではないので，√２＝ｐ／ｑすなわちｐ^2＝２ｑ^2になるような２つの整数ｐ，ｑを見つけることはできません．しかし，誤差±１を許すことにすると

　　２ｑ^2＝ｐ^2±１　　（ペル方程式）

なる２つの整数ｐ，ｑを見つけることができます．

　ところで，ａn＝２ａn-1＋ａn-2という漸化式で生成される数列

　　１，２，５，１２，２９，７０，１６９，４０８，・・・

はペル数列と呼ばれます．これにはおもしろい性質があって，

　　１^2＋１^2＝１^2＋１

　　２^2＋２^2＝３^2−１

　　５^2＋５^2＝７^2＋１

　　１２^2＋１２^2＝１７^2−１

　　・・・・・・・・・・・・・

このとき，±１は交互に繰り返し現れます．

　√２の最良近似値は1/1,3/2,7/5,17/12,41/29,･･･です．このような分数を全部求めるには１／１から出発して１＋１＝２が次の分母になり，１＋２＝３が次の分子になる，３＋２＝５が第３の分母，２＋５＝７が第３の分子になる，すなわち，１つ前の分数の分子と分母の和が次の分母になり，ひとつ前の分数の分母を２倍したものとその分子の和が次の分子になり，同様に続いていくという算術的な規則があります．

　　1/1↓　↑3/2↓　↑7/5↓　↑17/12↓　↑41/29↓　・・・

　すなわち，ペル方程式：ｐ^2−２ｑ^2＝±１を満たすｐ／ｑがひとつの分数で，Ｐ／Ｑが次の分数だとすると

　　Ｑ＝ｐ＋ｑ，Ｐ＝ｑ＋Ｑ＝ｐ＋２ｑ

　　Ｐ^2−２Ｑ^2＝２ｑ^2−ｐ^2＝±１

となって，Ｐ／ＱもまたＰ^2−２Ｑ^2＝±１となる分数を与えることができることになります．１／１から始まって次々に解となる分数を見つけることができるというわけです．

　　ｐ／ｑ→Ｐ／Ｑ＝（ｐ＋２ｑ）／（ｐ＋ｑ）

（−１）　1/1＜7/5＜41/29＜239/169＜・・・＜√２＜・・・＜577/408＜99/70＜17/12＜3/2　（＋１）

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　Ｑ（√２）ではε＝１＋√２が基本単数ですが，その他の解は

　　（１＋√２）^n＝ａn＋ｂn√２

により与えられます．

　　（１＋√２）（１−√２）＝−１

　　（１＋√２）^2（１−√２）^2＝１

　　（１＋√２）^3（１−√２）^3＝−１

　　（１＋√２）^4（１−√２）^4＝１

より，ｘ^2−２ｙ^2＝±１の解を（ｔn，ｕn），

　　　ｘ^2−２ｙ^2＝１の解を（ｘn，ｙn），

　　　ｘ^2−２ｙ^2＝−１の解を（ｒn，ｓn）

とおくと

　　ｔn＋√２ｕn＝（１＋√２）^n

　　ｘn＋√２ｙn＝（１＋√２）^2n（３＋２√２）^n

　　ｒn＋√２ｓn＝（１＋√２）^2n-1＝（１＋√２）（３＋２√２）^n-1

で与えられます．

　　ｔn+1＋√２ｕn+1＝（１＋√２）（ｔn＋√２ｕn）

　　　　　　　　　　＝（ｔn＋２ｕn）＋√２（ｔn＋ｕn）

より

　　ｔn+1＝ｔn＋２ｕn

　　ｕn+1＝ｔn＋ｕn

　　ｃn ＝［ｔn，ｕn］’　　　Ａ＝［ａ，ｂ］＝［１，２］

　　　　　　　　　　　　　　　　　［ｃ，ｄ］　［１，１］

とおくと，ｃn+1＝Ａｃn，ｃn+2＝Ａｃn+1＝Ａ^2ｃn

　ここで，ケーリー・ハミルトン方程式

　　Ａ^2＝（ｔｒＡ）Ａ−（ｄｅｔＡ）Ｉ

より

　　ｃn+2 ＝Ａ^2ｃn＝（ｔｒＡ）Ａｃn−（ｄｅｔＡ）Ｉｃn

　　　　　＝（ｔｒＡ）ｃn+1−（ｄｅｔＡ）ｃn

　　　　　＝（ａ＋ｄ）ｃn+1−（ａｄ−ｂｃ）ｃn

　　　　　＝２ｃn+1＋ｃn

　ところで，ペル数列（ａn＝２ａn-1＋ａn-2）

　　１，２，５，１２，２９，７０，１６９，４０８，・・・

の特性方程式

　　ｘ^2−２ｘ−１＝０

の２根を

　　γ＝１＋√２，δ＝１−√２

とおくと，ペル数列の一般項は，

　　Ｐn ＝１／２√２（γ^n−δ^n）

　また，連続する２項の比は

　　１＋√２

に次第に近づくことになります．

　　ｔn ＝１／２（γ^n＋δ^n）

　　ｕn ＝１／２√２（γ^n−δ^n）

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　　ｘn+1＋√２ｙn+1＝（３＋２√２）（ｘn＋√２ｙn）

　　　　　　　　　　＝（３ｘn＋４ｙn）＋√２（２ｘn＋３ｙn）

　　ｃn+2 ＝６ｃn+1−ｃn

　　α＝３＋２√２，β＝３−２√２

　　ｘn ＝１／２（α^n＋β^n）

　　ｙn ＝１／２√２（α^n−β^n）

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【２】√ｄの近似値とチェビシュフ多項式

　　ｘ^2−ｄｙ^2＝１の最小解を（ｘ1，ｙ1），

　　　ｘ^2−ｄｙ^2＝−１の最小解を（ｒ1，ｓ1）

とおくと，漸化式

　　ｃn+2 ＝２ｘ1ｃn+1−ｃn　　　（ｃ＝ｘ，ｙ，ｒ，ｓ）

　　ｃn+2 ＝２ｒ1ｃn+1＋ｃn　　　（ｃ＝ｔ，ｕ）

が成り立つ．

　ところで，ド・モアブルの定理：

　　（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）^n＝ｃｏｓｎθ＋ｉｓｉｎｎθ

の左辺を２項展開して，両辺の実部，虚部を比較すると

　　ｃｏｓｎθ＝（ｃｏｓθ）^n−nＣ2（ｃｏｓθ）^n-2（ｓｉｎθ）^2＋・・・＝（ｃｏｓθのｎ次多項式）＝Ｔn（ｃｏｓθ）

　　ｓｉｎｎθ＝nＣ1（ｃｏｓθ）^n-1ｓｉｎθ−nＣ3（ｃｏｓθ）^n-3（ｓｉｎθ）^3＋・・・＝ｓｉｎθ×（ｃｏｓθのｎ−１次多項式）＝ｓｉｎθ×Ｕn（ｃｏｓθ）

を得る．

　また，

　　ｃｏｓｎθ＝ｃｏｓθｃｏｓ（ｎ−１）−ｓｉｎθｓｉｎ（ｎ−１）θ

　　ｓｉｎｎθ＝ｓｉｎθｃｏｓ（ｎ−１）＋ｃｏｓθｓｉｎ（ｎ−１）θ

より，漸化式

　　Ｔn（ｃｏｓθ）＝ｃｏｓθＴn-1（ｃｏｓθ）−（ｓｉｎθ）^2Ｕn-1（ｃｏｓθ）

　　Ｕn（ｃｏｓθ）＝Ｔn-1（ｃｏｓθ）＋ｃｏｓθＵn-1（ｃｏｓθ）

　　Ｔn（ｃｏｓθ）＝２ｃｏｓθＴn-1（ｃｏｓθ）−Ｔn-2（ｃｏｓθ）

　　Ｕn（ｃｏｓθ）＝２ｃｏｓθＵn-1（ｃｏｓθ）−Ｕn-2（ｃｏｓθ）

が成り立つ．

　ｃｏｓθ＝ｘの多項式で表すと，チェビシュフ多項式は

　　Ｔn（ｘ）＝２ｘＴn-1（ｘ）−Ｔn-2（ｘ）

　　Ｕn（ｘ）＝２ｘＵn-1（ｘ）−Ｕn-2（ｘ）

となり，前述の漸化式と一致していることがわかる．

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　したがって，

　　ｘn＝Ｘn（ｘ1），ｙn＝ｙ1Ｙn（ｘ1）

　　ｔn＝Ｖn（ｔ1），ｕn＝ｕ1Ｗn（ｔ1）

とおくと，チェビシュフ多項式を用いて

　　ｘn＝Ｔn（ｘ1），ｙn＝ｙ1Ｕn-1（ｘ1）

　　ｔn＝Ｔ~n（ｔ1），ｕn＝ｕ1Ｕ~n-1（ｔ1）

　　ｘn＝Ｔ~2n（ｔ1），ｙn＝ｕ1Ｕ~2n-1（ｔ1）

　　ｒn＝Ｔ~2n-1（ｒ1），ｓn＝ｓ1Ｕ~2n-2（ｒ1）

と表される．

　ただし，Ｔ~n，Ｕ~nはチェビシェフ多項式Ｔn，Ｕnの負の符号を正に変えたものである．以下，チェビシェフ多項式を示しておく．

Ｔ0（ｘ）＝１　　　　　　　　 Ｔ~0（ｘ）＝１　　　　　　　　

Ｔ1（ｘ）＝ｘ　　　　　　　　 Ｔ~1（ｘ）＝ｘ　　　　　　　　

Ｔ2（ｘ）＝２ｘ^2−１　　　　 Ｔ~2（ｘ）＝２ｘ^2＋１　　　　

Ｔ3（ｘ）＝４ｘ^3−３ｘ　　　 Ｔ~3（ｘ）＝４ｘ^3＋３ｘ　　　

Ｔ4（ｘ）＝８ｘ^4−８ｘ^2＋１ Ｔ~4（ｘ）＝８ｘ^4＋８ｘ^2＋１

Ｕ0（ｘ）＝１　　　　　　　　 Ｕ~0（ｘ）＝１　　　　　　　

Ｕ1（ｘ）＝２ｘ　　　　　　　　 Ｕ~1（ｘ）＝２ｘ　　　　　　　

Ｕ2（ｘ）＝４ｘ^2−１　　　　 Ｕ~2（ｘ）＝４ｘ^2＋１　　　

Ｕ3（ｘ）＝８ｘ^3−４ｘ　　　 Ｕ~3（ｘ）＝８ｘ^3＋４ｘ　　

Ｕ4（ｘ）＝１６ｘ^4−１２ｘ^2＋１ Ｕ~4（ｘ）＝１６ｘ^4＋１２ｘ^2＋１

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