［参］細矢治夫「トポロジカル・インデックス」日本評論社の備忘録

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

p2: f0=1,f1=1となっていることに注意。通常はF0=0,F1=1

p3: A→B、B→BAなる置換則

p5: ケクレ構造式の数Kn=fn+1

p5: L0=2,L1=1となっている

p7: p0=1,p1=2ことに注意。通常はP0=1,P1=2

Q0=2,Q1=2となっている

p13: 連分多項式Kn, クヌースの本ではこれが用いられている。細矢インデックスのの方が連分多項式より数学的に上位の概念。

p15: 第1種、第2種チェビシェフ多項式は、共通の漸化式φn(x)=2xφn-1(x)-φn-2(x)に従っている。

p15: 第1種、第2種チェビシェフ多項式の項の符号を正にしたものは、共通の漸化式φn(x)=2xφn-1(x)+φn-2(x)に従っている。

p16: fn,Ln,pn,Qnは第1種、第2種変形チェビシェフ多項式の項の符号を正にしたもので表される。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

p24: 経路Pn,星Sn,櫛Bn,歯車Gn,単環Rn,完全Knの細矢インデックスはfn,Ln,pn,Qnである。

p25: 毛虫Cn=Pn+Sn

p26: 細矢インデックス=1+辺の数+頂点を共有しないｋ本の辺を選ぶ組み合わせ数

p27: 経路グラフの細矢インデックス=フィボナッチ数fn

p28: (n-k,k)は経路グラフのなかから互いに隣合わないｋ本の辺を選ぶ組み合わせ数に等しい

p32: 経路グラフの特性多項式=第2種変形チェビシェフ多項式

p36: 櫛グラフの細矢インデックス=ペル数pn

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

パスカルの三角形は(1+x)^nの展開から生じた上2つの数の和を下の段に並べることで作成できたのと同じように

上2つの数とさらに上の数の和を考える。3個の1から出発して数三角形を描くと

１

１ １

１ ３ １

１ ５ ５ １

１ ７ 13 ７ １

１　９ 25 25 ９ １

D(4,2)=D(3,1)+D(3,2)+D(2,1)=5+5+3=13

一般にD(n,m)=D(n-1,m-1)+D(n-1,m)+D(n-2,m-1

この三角形はデラノイの三角形と呼ばれる。

パスカルの三角形の斜めの和を計算するとフィボナッチ数列が現れるが、デラノイの三角形ではトリボナッチ数列となる。

1→1

1→1

1+1→2

1+3→4

1+5+1→7

1+7+5→13

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

デラノイ三角形の行の和を計算するとペル数が現れる

１→１

１ １→２

１ ３ １→５

１ ５ ５ １→12

１ ７ 13 ７ １→29

１　９ 25 25 ９ １→70

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝