■細矢インデックス(その8)

 (その7)のチェビシェフ多項式との関係について,二項係数表現しておきたい.

===================================

 k=0〜[n/2]の和をとるものとして,

  Tn(x)=n/2Σ(−1)^k(n−k,k)/(n−k)(2x)^(n-2k)

  Un(x)=Σ(−1)^k(n−k,k)(2x)^(n-2k)

  Un(x)=1/n・dTn+1(x)/dx

  Cn(x)=Σ(−1)^k(n−k,k)n/(n−k)x^(n-2k)

  Sn(x)=Σ(−1)^k(n−k,k)x^(n-2k)

  fn=Σ(n−k,k)

  Ln(x)=Σ(n−k,k)n/(n−k)

  pn=Σ(n−k,k)2^(n-2k)

  Qn=Σ(n−k,k)n2^(n-2k)/(n−k)

===================================

[雑感]

 パスカルの三角形とフィボナッチ数の関係は古くから知られていたが,

  fn=Σ(n−k,k)

はその二項係数表現になっている.

===================================