［参］細矢治夫「トポロジカル・インデックス」日本評論社

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【１】ペル数

　ａn＝２ａn-1＋ａn-2という漸化式で生成される数列

　　１，２，５，１２，２９，７０，１６９，４０８，・・・

はペル数列と呼ばれます．ペル数列の特性方程式

　　ｘ^2−２ｘ−１＝０

の２根を

　　γ＝１＋√２，δ＝１−√２

とおくと，ペル数列の一般項は，

　　ｐn ＝１／２√２（γ^n+1−δ^n+1）　　　（n:0~)

　連続する２項の比は

　　１＋√２

に次第に近づくことになります．

　また，ペル・リュカ数列

　　２，２，６，１４，３４，８２，・・・

の一般項は

　　Ｑn ＝γ^n＋δ^n　　　（n:0~)

で表されます．

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【２】フィボナッチ数とリュカ数

　ａn＝ａn-1＋ａn-2という漸化式で生成される数列の特性方程式

　　ｘ^2−２ｘ−１＝０

の２根を

　　α＝（１＋√５）／２，β＝（１−√５）／２

とおくと，フィボナッチ数列

　　１，１，２，３，５，８，・・・

の一般項は，

　　ｆn ＝１／√５（α^n+1−β^n+1）　　　（n:0~)

リュカ数列

　　２，１，３，４，７，１１，・・・

の一般項は

　　Ｌn＝α^n＋β^n　　　（n:0~)

で表されます．

　なお，

　　α＝（１＋√５）／２，β＝（１−√５）／２

とおくと，フィボナッチ数

　　ｆn＝１／√５｛α^n+1−β^n+1｝

とリュカ数

　　Ｌn＝α^n＋β^n

に対して，関係式（カッシーニの等式）

　　ｆn+1ｆn-1−ｆn^2＝−（−１）^n

　　Ｌn+1Ｌn-1−Ｌn^2＝５（−１）^n+1

　　Ｃn（ｉ）＝ｉ^nＬn

　　Ｓn（ｉ）＝ｉ^nｆn

が示されます．

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