［参］細矢治夫「トポロジカル・インデックス」日本評論社

では，フィボナッチ数ｆn，リュカ数Ｌn，ペル数ｐn，ペル・リュカ数Ｑnを

ｎ　：０，１，２，３，４，５，６，７，８

ｆn ：１，１，２，３，５，８，１３，２１，３４

Ｌn ：２，１，３，４，７，１１，１８，２９，４７

ｐn ：１，２，５，１２，２９，７０，１６９，４０８，９８５

Ｑn ：２，２，６，１４，３４，８２，１９８，４７８，１１５４

で定義している．Ｆn＝ｆn-1で定義する方が多いが，この方がはるかにすっきりするらしい．

　前２者は同じ漸化式：ｇn＝ｇn-1＋ｇn-2，後２者は同じ漸化式：ｇn＝２ｇn-1＋ｇn-2をもち，それぞれ初期値が異なっている，

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】畳の敷き方数

　２×ｎの長方形の部屋に１×２の畳を敷く仕方はｆn+1通りある．不飽和共役炭化水素（エチレン，ベンゼン，ナフタレン，フェナントレン，・・・）のケクレ構造もｆn+1通りある．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】行列表現

　　［ｆn ］＝［１，１］［ｆn-1］＝［１，１］^n［１］

　　［ｆn-1］　［１，０］［ｆn-2］ ［１，０］ ［０］

　　［Ｌn ］＝［１，１］［Ｌn-1］＝［１，１］^n［２］

　　［Ｌn-1］　［１，０］［Ｌn-2］ ［１，０］ ［−１］

　　［ｐn ］＝［２，１］［ｐn-1］＝［２，１］^n［１］

　　［ｐn-1］　［１，０］［ｐn-2］ ［１，０］ ［０］

　　［Ｑn ］＝［２，１］［Ｑn-1］＝［２，１］^n［２］

　　［Ｑn-1］　［１，０］［Ｑn-2］ ［１，０］ ［−２］

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【３】固有値

　前２者では

　　｜１−ｘ，１｜＝ｘ^2−ｘ−１＝０

　　｜１，　−ｘ｜

の２根

　　α＝（１＋√５）／２＝τ，β＝（１−√５）／２＝−１／τ

　　τは正五角形と密接な関係にある．

　後２者では

　　｜２−ｘ，１｜＝ｘ^2−２ｘ−１＝０

　　｜１，　−ｘ｜

の２根

　　γ＝１＋√２＝θ，δ＝１−√２＝−１／θ

　　θは正八角形と密接な関係にある．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【４】一般式

　　ｆn＝（α^n+1−β^n+1）／√５

　　Ｌn＝α^n＋β^n

　　ｐn＝（γ^n+1−δ^n+1）／２√２

　　Ｑn＝γ^n＋δ^n

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【５】項比の極限値

　　ｆn+1／ｆn，Ｌn+1／Ｌn→τ

　　ｐn+1／ｐn，Ｑn+1／Ｑn→θ

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【６】チェビシェフ多項式との関係

　ところで，ド・モアブルの定理：

　　（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）^n＝ｃｏｓｎθ＋ｉｓｉｎｎθ

の左辺を２項展開して，両辺の実部，虚部を比較すると

　　ｃｏｓｎθ＝（ｃｏｓθ）^n−nＣ2（ｃｏｓθ）^n-2（ｓｉｎθ）^2＋・・・＝（ｃｏｓθのｎ次多項式）＝Ｔn（ｃｏｓθ）

　　ｓｉｎｎθ＝nＣ1（ｃｏｓθ）^n-1ｓｉｎθ−nＣ3（ｃｏｓθ）^n-3（ｓｉｎθ）^3＋・・・＝ｓｉｎθ×（ｃｏｓθのｎ−１次多項式）＝ｓｉｎθ×Ｕn（ｃｏｓθ）

を得る．

　また，

　　ｃｏｓｎθ＝ｃｏｓθｃｏｓ（ｎ−１）−ｓｉｎθｓｉｎ（ｎ−１）θ

　　ｓｉｎｎθ＝ｓｉｎθｃｏｓ（ｎ−１）＋ｃｏｓθｓｉｎ（ｎ−１）θ

より，漸化式

　　Ｔn（ｃｏｓθ）＝ｃｏｓθＴn-1（ｃｏｓθ）−（ｓｉｎθ）^2Ｕn-1（ｃｏｓθ）

　　Ｕn（ｃｏｓθ）＝Ｔn-1（ｃｏｓθ）＋ｃｏｓθＵn-1（ｃｏｓθ）

　　Ｔn（ｃｏｓθ）＝２ｃｏｓθＴn-1（ｃｏｓθ）−Ｔn-2（ｃｏｓθ）

　　Ｕn（ｃｏｓθ）＝２ｃｏｓθＵn-1（ｃｏｓθ）−Ｕn-2（ｃｏｓθ）

が成り立つ．

　ｃｏｓθ＝ｘの多項式で表すと，チェビシュフ多項式は

　　Ｔn（ｘ）＝２ｘＴn-1（ｘ）−Ｔn-2（ｘ）

　　Ｕn（ｘ）＝２ｘＵn-1（ｘ）−Ｕn-2（ｘ）

となる．

　Ｔ~n，Ｕ~nは第１種チェビシェフ多項式Ｔn，第２種チェビシェフ多項式Ｕnの負の符号を正に変えたものである．以下，チェビシェフ多項式を示しておく．

Ｔ0（ｘ）＝１　　　　　　　　 Ｔ~0（ｘ）＝１　　　　　　　　

Ｔ1（ｘ）＝ｘ　　　　　　　　 Ｔ~1（ｘ）＝ｘ　　　　　　　　

Ｔ2（ｘ）＝２ｘ^2−１　　　　 Ｔ~2（ｘ）＝２ｘ^2＋１　　　　

Ｔ3（ｘ）＝４ｘ^3−３ｘ　　　 Ｔ~3（ｘ）＝４ｘ^3＋３ｘ　　　

Ｔ4（ｘ）＝８ｘ^4−８ｘ^2＋１ Ｔ~4（ｘ）＝８ｘ^4＋８ｘ^2＋１

Ｕ0（ｘ）＝１　　　　　　　　 Ｕ~0（ｘ）＝１　　　　　　　

Ｕ1（ｘ）＝２ｘ　　　　　　　　 Ｕ~1（ｘ）＝２ｘ　　　　　　　

Ｕ2（ｘ）＝４ｘ^2−１　　　　 Ｕ~2（ｘ）＝４ｘ^2＋１　　　

Ｕ3（ｘ）＝８ｘ^3−４ｘ　　　 Ｕ~3（ｘ）＝８ｘ^3＋４ｘ　　

Ｕ4（ｘ）＝１６ｘ^4−１２ｘ^2＋１ Ｕ~4（ｘ）＝１６ｘ^4＋１２ｘ^2＋１

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　　Ｃn（ｘ）＝２Ｔn（ｘ／２）　　　（第１種変形チェビシェフ多項式）

　　Ｓn（ｘ）＝Ｕn（ｘ／２）　　　　（第２種変形チェビシェフ多項式）

と定義する．

Ｃ0（ｘ）＝２　　　　　　　　 Ｃ~0（ｘ）＝１　　　　　　　　

Ｃ1（ｘ）＝ｘ　　　　　　　　 Ｃ~1（ｘ）＝ｘ　　　　　　　　

Ｃ2（ｘ）＝ｘ^2−２　　　　 Ｃ~2（ｘ）＝ｘ^2＋２ 　　　　

Ｃ3（ｘ）＝ｘ^3−３ｘ　　　 Ｃ~3（ｘ）＝ｘ^3＋３ｘ　 　　

Ｃ4（ｘ）＝ｘ^4−４ｘ^2＋２ Ｃ~4（ｘ）＝ｘ^4＋４ｘ^2＋２

Ｓ0（ｘ）＝１　　　　　　　　 Ｓ~0（ｘ）＝１　　　　　　　

Ｓ1（ｘ）＝ｘ　　　　　　　　 Ｓ~1（ｘ）＝ｘ 　　　　　　　

Ｓ2（ｘ）＝ｘ^2−１　　　　 Ｓ~2（ｘ）＝ｘ^2＋１ 　　　

Ｓ3（ｘ）＝ｘ^3−２ｘ　　　 Ｓ~3（ｘ）＝ｘ^3＋２ｘ 　　

Ｓ4（ｘ）＝ｘ^4−３ｘ^2＋１ Ｓ~4（ｘ）＝ｘ^4＋３ｘ^2＋１

　すると

　　ｆn＝Ｓ~n（１）

　　Ｌn＝Ｃ~n（１）

　　ｐn＝Ｓ~n（２）

　　Ｑn＝Ｃ~n（２）

を示すことができる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝